TR-MO-R1 2025

Bir $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ ve ağırlık merkezi $G$ olmak üzere, $|BH| = 3\sqrt{2}$, $|CH| = 6$ ve $m(\widehat{BHC}) = 135^\circ$ ise, $|GH|$ kaçtır?

a) $1+\sqrt{2}$ b) $2\sqrt{3}-2$ c) $1$ d) $3\sqrt{2}-3$ e) $2$

$1^3 + 2^3 + \cdots + n^3$ sayısının $2025$ ile bölünmesini sağlayan kaç $n < 2025$ pozitif tam sayısı vardır?

a) $44$ b) $89$ c) $134$ d) $179$ e) $224$

$m$ ve $n$ tam sayılar olmak üzere, $f(f(360)) = 0$ koşulunu sağlayan kaç $f(x) = x^2 + mx + n$ polinomu vardır?

a) $1$ b) $18$ c) $48$ d) $60$ e) Hiçbiri

$6$ farklı şapkası olan bir kişi, ardışık $6$ gün boyunca her gün bu şapkalardan birini takmıştır. Bu kişi, herhangi iki ardışık günde farklı şapka takmıştır, fakat ilk ve son günlerde aynı şapkayı takmıştır. Buna göre, bu kişi bu $6$ günde şapkaları kaç farklı sırayla takabilir?

a) $1920$ b) $2520$ c) $3120$ d) $3720$ e) $4320$

Tüm köşeleri aynı çember üzerinde yer alan bir $ABCDE$ beşgeninde $AB \parallel CE$ ve $AC \parallel DE$ koşulları sağlanıyor. $AB$ ve $CD$ doğrularının kesişim noktası $F$ olmak üzere, $|CF| = 8$, $|CD| = 12$ ve $|DE| = 30$ ise, $|AC|$ kaçtır?

a) $15$ b) $18$ c) $20$ d) $36$ e) $45$

$n = 195, 196, 197, 198, 199, 200$ sayılarından kaç tanesi için

$$1^n + 2^{n-1} + 3^{n-2} + \cdots + n^1$$

sayısı 3 ile bölünür?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Kaç $a$ pozitif tam sayısı için $P(x) = x^6 - 6x^5 + 12x^4 - ax^3 + 12x^2 - 6x + 1$ polinomunun pozitif gerçel kökü yoktur?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) Hiçbiri

$45 \times 45$ satranç tahtasının her birim kenarı kırmızı ve mavi renklerinden birine, her birim karenin kırmızı kenarlarının sayısı tek sayı olmak koşuluyla kaç farklı şekilde boyanabilir?

a) $2^{2025}$ b) $2^{2115}$ c) $3^{2070} - 2^{2070}$ d) $3^{990} - 2^{990}$ e) $4^{2025}$

$\widehat{B}$ açısı dik olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde $B$ ve $C$ den farklı bir $D$ noktası alınıyor. $[AD]$ doğru parçasının orta dikmesi $[AC]$ kenarını $E$ noktasında kesiyor. $|AE| = 2|BD|$ ve $m(\widehat{EAD}) = 36^\circ$ ise, $m(\widehat{ACB})$ kaçtır?

a) $18^\circ$ b) $27^\circ$ c) $30^\circ$ d) $45^\circ$ e) Hiçbiri

$ebob(a,b) = 22!$ ve $ekok(a,b) = 33!$ koşullarını sağlayan kaç tane sıralı $(a,b)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

a) $498$ b) $504$ c) $512$ d) $524$ e) $532$

Gerçel sayılar kümesi $\mathbb{R}$ olmak üzere, bir $f : \mathbb{R} - \left\{-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right\} \to \mathbb{R}$ fonksiyonu her $x \neq -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}$ için $f\left(\frac{2x-4}{3x+2}\right) + f(x) = x$ koşulunu sağlıyorsa, $f(3)$ kaçtır?

a) $\frac{11}{36}$ b) $\frac{13}{47}$ c) $\frac{24}{55}$ d) $\frac{67}{105}$ e) $\frac{107}{154}$

$k$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $4 \times 4$ satranç tahtasının her birim karesine $1, 2, \ldots, k$ sayılarından biri yazılmıştır. $1 \le m < n \le k$ koşulunu sağlayan her $(m, n)$ ikilisi için hem $m$ hem de $n$ sayısını içeren bir satır veya bir sütun bulunuyorsa, $k$ sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

a) $5$ b) $6$ c) $7$ d) $8$ e) $9$

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 2$ ve $|AC| = 1$ olsun. $AB$ doğrusuna göre $C$ ile farklı tarafta yer alan bir $M$ noktası, $m(\widehat{MAB}) = 90^\circ$ ve $|MA| = |AB|$ koşullarını sağlıyor. $AC$ doğrusuna göre $B$ ile farklı tarafta yer alan bir $N$ noktası, $m(\widehat{NAC}) = 90^\circ$ ve $|NA| = |AC|$ koşullarını sağlıyor. $MNA$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $OA$ ve $BC$ doğruları $D$ noktasında kesişiyorsa $\dfrac{|BD|}{|CD|}$ kaçtır?

a) $\dfrac{1}{2}$ b) $1$ c) $\sqrt{2}$ d) $2$ e) $4$

Kaç $n \leq 2025$ pozitif tam sayısı için $3^x - 5^y$ sayısının $n$ ile bölünmesini sağlayan $x$ ve $y$ pozitif tam sayıları bulunmaz?

a) $405$ b) $675$ c) $945$ d) $1020$ e) $1050$

$a_0, a_1, a_2, \ldots$ gerçel sayı dizisi $a_0 = 3$ ve her $n \geq 1$ için

$$\frac{a_n + 1}{n} = \frac{a_{n-1}^2}{n} + 2a_{n-1} + n - 1$$

olacak şekilde tanımlanıyor. $k$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $|a_{2025} - 2^k|$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

a) 2023 b) 2024 c) 2025 d) 2026 e) 2027

$15 \times 15$ satranç tahtasının bazı birim kareleri işaretlenmiştir. Bir satırdaki işaretlenmiş birim kare sayısı bir sütundaki işaretlenmiş birim kare sayısından fazla ise, bu satır ve sütunun kesişimindeki birim kareye mutlu diyelim. Tahtadaki mutlu birim kare sayısı tam olarak $112$ ise, işaretlenmiş birim kare sayısı en fazla kaç olabilir?

a) $113$ b) $187$ c) $201$ d) $217$ e) Hiçbiri

Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarının orta noktalarından geçen ve $[BC]$ kenarına $D$ noktasında teğet olan bir çember, $[BA$ ve $[CA$ ışınları ile üçgenin kenarları dışında sırasıyla $E$ ve $F$ noktalarında kesişiyor. $|BD| = 6\sqrt{3}$, $|CD| = 18$ ve $|CF| = 27$ ise $|BE|$ kaçtır?

a) $9\sqrt{3}$ b) $12\sqrt{3}$ c) $3\sqrt{6}$ d) $27$ e) Hiçbiri

Çevresi $101$ birim olan bir çember üzerinde bir karınca bulunmaktadır. Bu karınca, saat yönünde çember yayı boyunca $1$ birim ilerleyip mola veriyor, daha sonra $2$ birim ilerleyip mola veriyor, ..., son olarak $2025$ birim ilerleyip mola veriyor. Buna göre, bu karınca çember üzerinde kaç farklı noktada mola vermiştir?

a) $51$ b) $56$ c) $64$ d) $72$ e) $81$

$k$ bir tam sayı olmak üzere,

$$\left\lfloor \frac{k+1}{2025} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{k+2}{2025} \right\rfloor + \cdots + \left\lfloor \frac{k+2024}{2025} \right\rfloor = 2025!$$

denkleminin kaç farklı çözümü vardır? (Bir $x$ gerçel sayısı için, $\lfloor x \rfloor$ ile $x$ sayısından büyük olmayan en büyük tam sayı gösteriliyor.)

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) Hiçbiri

$(m,n) = (32,33),(20,25),(10,40),(19,21),(77,99)$ ikililerinin kaç tanesi için $m \times n$ boyutlarındaki bir satranç tahtasının her birim karesi kırmızı ve mavi renklerinden birine, her birim karenin kendisiyle aynı renkte olan ve kendisiyle ortak kenar veya ortak köşe paylaşan birim karelerin sayısı tek sayı olacak şekilde boyanabilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

$\widehat{B}$ açısı dik olan bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarına sırasıyla $D$ ve $E$ noktalarında teğettir. $ED$ ve $BC$ doğrularının kesişim noktası $F$ olmak üzere, $|FD| = 25$ ve $|DE| = 24$ ise, $|AE|$ kaçtır?

a) $16$ b) $18$ c) $20$ d) $24$ e) $35$

$n$ pozitif tam sayısının en büyük tek böleni $f(n)$ olmak üzere,

$$f(25)+f(26)+f(27)+\cdots+f(200)$$

toplamı kaçtır?

a) $13150$ b) $13250$ c) $13350$ d) $13450$ e) $13550$

$x, y, z$ pozitif gerçel sayıları

$$\frac{y^2}{z} + \frac{zx + x^2}{2y + z} = 2x$$ $$\frac{x^2}{z} + \frac{zy + 2y^2}{x + z} = 9y$$ $$\frac{y^2}{x} + \frac{x^2}{y} = 9z$$

denklem sistemini sağlıyorsa, $\dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{y} + \dfrac{x}{z}$ kaçtır?

a) $\dfrac{23}{6}$ b) $\dfrac{25}{6}$ c) $\dfrac{19}{4}$ d) $5$ e) $7$

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, 3 ile bölünen ve basamaklarının her biri ya 1 ya da 2 olan $n$ basamaklı pozitif tam sayıların sayısı $f(n)$ olsun. $f(101) - f(99)$ kaçtır?

a) $2^{100} - 2^{98}$ b) $2^{99}$ c) $2^{99} - 1$ d) $2^{98} + 2^{96}$ e) $2^{98} + 1$

Bir $ABCD$ dikdörtgeninde $|AB| > |BC|$ olsun. $D$ noktasından geçen ve $AB$ doğrusuna $B$ noktasında teğet olan çember $AD$ doğrusunu ikinci kez $E$ noktasında kesiyor. $BE$ ve $CD$ doğrularının kesişim noktası $F$ olmak üzere, $\dfrac{|FC|}{|FD|} = \dfrac{9}{7}$ ise, $\dfrac{|EC|}{|AF|}$ kaçtır?

a) $\dfrac{7}{9}$ b) $1$ c) $\dfrac{5}{4}$ d) $\dfrac{4}{3}$ e) $\dfrac{3}{2}$

$p$ bir asal sayı olmak üzere, $x + p^2 \mid x^3 + p^4$ koşulunu sağlayan $x$ tam sayılarının sayısı $f(p)$ olsun. $m = 150,\ 160,\ 170,\ 180,\ 190$ sayılarından kaç tanesi için $f(p) = m$ olacak şekilde bir $p$ asal sayısı bulunur?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Başlangıçta bir mavi kavanozda $\%99$'u nar suyu, $\%1$'i portakal suyu olan $1$ litre homojen sıvı ve bir yeşil kavanozda $\%1$'i nar suyu, $\%99$'u portakal suyu olan $2$ litre homojen sıvı bulunmaktadır. Her işlemde önce yeşil kavanozdan mavi kavanoza $1$ litre sıvı aktarılıp homojen bir sıvı elde edilene kadar karıştırılıyor ve bundan sonra mavi kavanozdan yeşil kavanoza $1$ litre sıvı aktarılıp homojen bir sıvı elde edilene kadar karıştırılıyor. En az kaç işlem sonucunda mavi kavanozdaki nar suyu yüzdesi ile yeşil kavanozdaki nar suyu yüzdesinin farkı $\%0.1$'den daha az olur?

a) $4$ b) $5$ c) $6$ d) $7$ e) $8$

Çevresi $25$ birim olan bir çember üzerinde $25$ nokta, bu noktalar bir düzgün $25$-genin köşeleri olacak şekilde işaretlenmiştir ve bu noktalardan $k$ tanesi kırmızıya boyanmıştır. Bu boyama nasıl yapılırsa yapılsın aralarındaki küçük yayın uzunluğu $5$ birim olan iki kırmızı nokta bulunabiliyorsa, $k$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

a) $10$ b) $11$ c) $12$ d) $13$ e) $14$

$ABCD$ kenar uzunluğu 3 olan bir kare olsun. $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde bir $E$ noktası $m(\widehat{AEC}) = 135^\circ$ olacak şekilde alınıyor. $BE$ ile $CD$ doğrularının kesişim noktası $F$ olmak üzere, $|CF| = 4$ ise, $|BE|$ kaçtır?

a) $\dfrac{21-6\sqrt{6}}{5}$ b) $\dfrac{10-4\sqrt{2}}{3}$ c) $\dfrac{12\sqrt{3}-15}{4}$ d) $\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}$ e) Hiçbiri

$n^4-5n^3+26n^2-41n+19$ ifadesinin bir asal sayının tam kuvvetine eşit olmasını sağlayan kaç $n$ tam sayısı vardır?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) Hiçbiri

Tahtaya, başlangıçta hiçbir birim karesi boyalı olmayan bir $1 \times N$ satranç tahtası çizilmiştir. $A$ ve $B$ oyuncuları sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar, oyuna $A$ oyuncusu başlıyor. $A$ oyuncusu kendi hamlesinde boyalı olmayan bir birim kareyi kırmızıya, $B$ oyuncusu ise kendi hamlesine boyalı olmayan bir birim kareyi maviye boyuyor. Herhangi bir oyuncu ortak kenar paylaşan iki birim kare aynı renkte olacak şekilde hamle yapamıyor. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun $N = 2023$, $2024$, $2025$, $2026$, $2027$ değerleri için birer kez oynanırsa, $A$ oyuncusu bu oyunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

a) $0$ b) $1$ c) $2$ d) $3$ e) $4$