TR-MO-R1 2013

$|AC| > |AB|$ olan bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ ve ağırlık merkezi $G$ olmak üzere, $IG$ ve $BC$ doğruları birbirine paralel, $|BC| = 2$, ve $\text{Alan}(ABC) = 3\sqrt{5}/8$ ise, $|AB|$ nedir?

a) $\dfrac{9}{8}$ b) $\dfrac{11}{8}$ c) $\dfrac{13}{8}$ d) $\dfrac{15}{8}$ e) $\dfrac{17}{8}$

$p$, $q$ asal sayılar ve $n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $1/p + 2013/q = n/5$ eşitliğini sağlayan kaç $(p, q, n)$ üçlüsü vardır?

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

Katsayıları $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesine ait olan bir polinomun $x - 6$ ile bölümünden kalan 2013 ise, bu polinomda $x$ in katsayısı en az kaç olabilir?

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

$1, 2, \ldots, 49$ sayıları $7 \times 7$ bir satranç tahtasının birim karelerine, ardışık sayılar ortak bir kenar paylaşan birim karelerde yer alacak biçimde yazıldığında bir satırda en fazla kaç asal sayı olabilir?

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

$[BC]$ kenarının uzunluğu 11 olan $ABC$ üçgeninin bu kenarı üstünde bir $D$ noktası $|BD| = 8$ olacak biçimde alınıyor. $C$ ve $D$ noktalarından geçen çember $AB$ doğrusuna bir $E$ noktasında teğettir. $B$ den geçen ve $DE$ doğrusuna dik olan doğru üzerinde bulunan bir $P$ noktası için $|PE| = 7$ ise, $|DP|$ kaçtır?

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) Hiçbiri

5 tabanına göre yazılımında 3 ve 4 rakamları geçmeyen en küçük 111. pozitif tam sayı nedir?

a) 760 b) 756 c) 755 d) 752 e) 750

$x^4 - 8x^3 + 13x^2 - 24x + 9 = 0$ denkleminin gerçel köklerinin toplamı nedir?

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

Köşeleri, verilen bir düzgün yirmigenin köşelerinden dördünde yer alan kaç deltoid vardır?

a) 105 b) 100 c) 95 d) 90 e) 85

$ABC$ üçgeninde $|AB| = 18$, $|AC| = 24$ ve $m(\widehat{BAC}) = 150^\circ$ dir. $D$ noktası $[AB]$, $E$ noktası $[AC]$ ve $F$ noktası $[BC]$ kenarları üstünde olmak üzere, $|BD| = 6$, $|CE| = 8$ ve $|CF| = 2|BF|$ dir. $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ noktasının $D$, $E$ ve $F$ noktalarına göre simetrikleri sırasıyla, $H_1$, $H_2$ ve $H_3$ noktaları ise, $H_1H_2H_3$ üçgeninin alanı nedir?

a) 70 b) 72 c) 84 d) 96 e) 108

$n$ den küçük ve $n$ ile aralarında asal olan tam olarak 20 tane pozitif tek tam sayı bulunmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) Hiçbiri

$x^4 + y^4 + 2x^2y + 2xy^2 + 2 = x^2 + y^2 + 2x + 2y$ eşitliğini sağlayan kaç $(x, y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

100 öğrenci, öğleden önce 50 tane ikili grup halinde ve öğleden sonra da, yine 50 tane ikili grup halinde ders çalışıyorlar. Öğleden önceki ve sonraki gruplar nasıl oluşturulursa oluşturulsun, herhangi ikisi gün boyunca hiç birlikte çalışmamış $n$ öğrenci bulunabiliyorsa, $n$ sayısı en çok kaç olabilir?

a) 42 b) 38 c) 34 d) 25 e) Hiçbiri

Çevrel çemberinin merkezi $O$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstündeki $D$ ve $E$ noktaları $D$, $B$ ile $E$ arasında yer almak üzere, $|AD| = |DB| = 6$ ve $|AE| = |EC| = 8$ koşullarını sağlıyor. $ADE$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ noktası ve $|AI| = 5$ ise, $|IO|$ nedir?

a) $\dfrac{26}{5}$ b) $5$ c) $\dfrac{23}{5}$ d) $\dfrac{21}{5}$ e) Hiçbiri

$n$ tam sayısını bölen pozitif tam sayıların sayısı $d(n)$ ile gösterilmek üzere; $64800$ sayısının tüm $k$ pozitif tam sayı bölenleri için, $d(k)$ sayılarının toplamı nedir?

a) $1440$ b) $1650$ c) $1890$ d) $2010$ e) Hiçbiri

$[1, 2013]$ aralığında yer alan $n$ gerçel sayı nasıl seçilirse seçilsin, kenar uzunlukları birbirinden farklı olup bu sayılardan bazılarına eşit olan bir çokgen bulunuyorsa, $n$ en az kaç olabilir?

a) $14$ b) $13$ c) $12$ d) $11$ e) $10$

$16$ beyaz ve $4$ kırmızı top her biri $5$ top alabilen $4$ kutuya rastgele dağıtılıyor. Her kutuda tam olarak $1$ kırmızı top olma olasılığı nedir?

a) $\dfrac{5}{64}$ b) $\dfrac{1}{8}$ c) $\dfrac{4^4}{\binom{16}{4}}$ d) $\dfrac{5^4}{\binom{20}{4}}$ e) $\dfrac{3}{32}$

Kenar uzunluğu 10 olan bir $ABC$ eşkenar üçgeninin iç bölgesindeki bir $P$ noktası için $|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2=128$ ise, kenar uzunlukları $|PA|, |PB|, |PC|$ olan bir üçgenin alanı nedir?

a) $6\sqrt{3}$ b) $7\sqrt{3}$ c) $8\sqrt{3}$ d) $9\sqrt{3}$ e) $10\sqrt{3}$

$$\binom{2013}{1}+2013\binom{2013}{3}+2013^2\binom{2013}{5}+\cdots+2013^{1006}\binom{2013}{2013}$$

toplamının 41 ile bölümünden kalan kaçtır?

a) 20 b) 14 c) 7 d) 1 e) Hiçbiri

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere,

$$\sqrt{x^2-4x+7-2\sqrt{2}}+\sqrt{x^2-8x+27-6\sqrt{2}}$$

ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) 2 b) $3\sqrt{2}$ c) $1+\sqrt{2}$ d) $2\sqrt{2}$ e) Hiçbiri

Ağırlıkları $1,2,\dots,2013$ gram olan 2013 taşın her birinin üstüne $1,2,\dots,2013$ sayılarından biri, her sayı tam olarak bir kez kullanılarak yazılıyor. Sayılar nasıl yazılırsa yazılsın, tüm taşların üstünde kendi ağırlıklarının yazılıp yazılmadığı, sol kefesindeki ağırlıktan sağ kefesindeki ağırlığın çıkarılmasının sonucunu gösteren iki kefeli bir tartı $k$ kez kullanılarak kontrol edilebiliyorsa, $k$ en az kaç olabilir?

a) 15 b) 12 c) 10 d) 7 e) Hiçbiri

$m(\widehat{C}) = 90^\circ$ olan bir $ABC$ dik üçgeninin $[AB]$ kenarı üstündeki $D$ ve $E$ noktaları $|AD| = |AC|$ ve $|BE| = |BC|$ koşullarını sağlıyor. $AEC$ ve $BDC$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin ikinci kez kesiştiği $F$ noktası için $|CF| = 2$ ise, $|ED|$ nedir?

a) $\sqrt{2}$ b) $1+\sqrt{2}$ c) $2$ d) $2\sqrt{2}$ e) Hiçbiri

$n^4 + 2n^3 - 20n^2 + 2n - 21$ sayısı, $0 \le n < 2013$ koşulunu sağlayan kaç $n$ tam sayısı için, 2013 ile bölünür?

a) 6 b) 8 c) 12 d) 16 e) Hiçbiri

$f$ ve $g$ fonksiyonları tüm $x \neq -1$ gerçel sayıları için,

$$f(2x+1) + g(3-x) = x$$

$$f((3x+5)/(x+1)) + 2g((2x+1)/(x+1)) = x/(x+1)$$

koşullarını sağlıyorsa, $f(2013)$ nedir?

a) $1007$ b) $\dfrac{4021}{3}$ c) $\dfrac{6037}{7}$ d) $\dfrac{4029}{5}$ e) $3016$

Ağırlıkları $1, 2, \ldots, 77$ gram olan $77$ taş ağırlıkları birbirinden farklı olan $k$ gruba, her grup kendinden daha hafif gruptan daha az taş içerecek biçimde dağıtılabiliyorsa, $k$ sayısı $\{9, 10, 11, 12\}$ değerlerinden kaçını alabilir?

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) Hiçbiri

$|AB| = |AC|$ olan bir $ABC$ üçgeninde $D$ noktası $[AB]$ kenarı üstünde yer almak üzere, $[CD]$ iç açıortay ve $m(\widehat{ABC}) = 40^\circ$ dir. $[AB]$ kenarının uzantısı üstünde ve $B$ den sonra yer alan bir $F$ noktası için, $|BC| = |AF|$ dir. $[CF]$ nin orta noktası $E$ olmak üzere, $ED$ ve $AC$ doğrularının kesişim noktası $G$ ise, $m(\widehat{FBG})$ nedir?

a) $150^\circ$ b) $135^\circ$ c) $120^\circ$ d) $105^\circ$ e) Hiçbiri

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $n^3+2$ ve $(n+1)^3+2$ sayılarının her ikisini de bölen asal sayıların sayısı en çok kaç olabilir?

a) $3$ b) $2$ c) $1$ d) $0$ e) Hiçbiri

$(a,b)$ ikilisinin $(1,2), (3,5), (5,7), (7,11)$ değerlerinden kaçı için $P(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 + bx^2 + ax + 1$ polinomunun tam olarak bir gerçel kökü vardır?

a) $4$ b) $3$ c) $2$ d) $1$ e) $0$

Başlangıçta tahtaya bir $(m,n)$ pozitif tam sayı ikilisi yazılmıştır. Ayşe ve Burak sırayla hamle yapıyorlar ve sırası gelen oyuncu sayılardan birini seçip silerek, yerine bu sayının yarısından küçük olmayan bir tam sayı yazıyor. Hamle yapamayan oyunu kaybediyor. Oyuna her sefer Ayşe başlamak üzere, oyun $(m,n) = (7,79), (17,71), (10,101), (21,251), (50,405)$ için birer kez oynanırsa, Ayşe bunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

a) $4$ b) $3$ c) $2$ d) $1$ e) Hiçbiri

$|AB|=5$, $|BC|=6$ ve $|AC|=7$ olan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ nun $BC$, $AC$ ve $AB$ doğrularına göre simetriği sırasıyla, $A_1$, $B_1$ ve $C_1$ noktaları olsun. $A_1B_1C_1$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezinin $A$ noktasına uzaklığı nedir?

a) $6$ b) $\sqrt{29}$ c) $\dfrac{19}{2\sqrt{6}}$ d) $\dfrac{35}{4\sqrt{6}}$ e) $\sqrt{\dfrac{35}{3}}$

$2013$ den küçük kaç $n$ pozitif tam sayısı için, $n$ yi bölen en küçük asal sayı $p$ olmak üzere, $p^2+p+1$ sayısı $n$ yi böler?

a) $212$ b) $206$ c) $191$ d) $185$ e) $173$

Gerçel sayılardan oluşan $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ dizisi her $n\geq 3$ için,

$$a_n=(n-1)\,a_1+(n-2)\,a_2+\cdots+2\,a_{n-2}+a_{n-1}$$

eşitliğini sağlamaktadır. $a_{2011}=2011$ ve $a_{2012}=2012$ ise, $a_{2013}$ nedir?

a) $6025$ b) $5555$ c) $4025$ d) $3456$ e) $2013$

Yalnızca $1$, $2$, $3$ rakamları kullanılarak, ilk ve son basamaklarında aynı rakam yer alan ve herhangi ardışık iki basamağında aynı rakam yer almayan kaç farklı $10$ basamaklı pozitif tam sayı yazılabilir?

a) $768$ b) $642$ c) $564$ d) $510$ e) $456$

Bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarı üstünde $|BD| = 4$ ve $|DC| = 3$ olacak biçimde yer alan $D$ noktası için, $[AD]$ iç açıortaydır. $[AB]$ kenarı üstünde yer alan ve $m(\widehat{BED}) = m(\widehat{DEC})$ koşulunu sağlayan $A$ dan farklı bir $E$ noktası için, $[AE]$ doğru parçasının orta dikmesi ile $BC$ doğrusu $M$ noktasında kesişiyorsa, $|CM|$ nedir?

a) 12 b) 9 c) 7 d) 5 e) Hiçbiri

$a! + b^3 = 18 + c^3$ eşitliğini sağlayan kaç $(a, b, c)$ pozitif tam sayı uçlüsü vardır?

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

$f(x) = x + 1 + \lfloor \sqrt{x} \rfloor$ olmak üzere, $\overbrace{f(f(\cdots(f}^{21 \text{ kere}}(n))) = 2013$ olmasını sağlayan en küçük $n$ pozitif tam sayısı nedir? (Burada $\lfloor a \rfloor$ ile, $a$ gerçel sayısından büyük olmayan en büyük tam sayı gösterilmektedir.)

a) 1214 b) 1202 c) 1186 d) 1178 e) Hiçbiri

En az 10, en çok 50 üyesi olan bir satranç kulübü, $K > E$ olmak üzere, $K$ kız ve $E$ erkekten oluşuyor. Herhangi iki üyenin kendi aralarında tam olarak bir maç yaptığı bir satranç turnuvasında her galibiyete 1, her beraberliğe $1/2$ ve her yenilgiye 0 puan veriliyor. Turnuva bittiğinde, her üyenin topladığı puanların tam olarak yarısını erkek üyelerle yaptığı maçlardan aldığı gözleniyorsa, $E$ sayısı kaç farklı değer alabilir?

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1