TR-MO-R1 2021

$AB \parallel CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunda $|CD| = 6$, $|AC| = 3\sqrt{2} + \sqrt{6}$ ve $|BC| = 2\sqrt{3} + 2$ eşitlikleri sağlanmaktadır. $m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{DCB})$ ise, $|AB|$ kaçtır?

a) $3$ b) $\sqrt{5}$ c) $\sqrt{3}$ d) $\sqrt{6} - 1$ e) $2$

Kaç farklı $p$ asal sayısı için $29^{p+1} - 1$ sayısı $p$ ile tam bölünür?

a) $2$ b) $4$ c) $6$ d) $8$ e) Hiçbiri

Pozitif tam sayılar kümesi $\mathbb{Z}^+$ ile gösterilmek üzere, bir $f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$ fonksiyonu $f(1) = 1$ ve her $n \in \mathbb{Z}^+$ için

$$f(7n+1) = f(n), \quad f(7n+2) = 2f(n), \quad f(7n+4) = 4f(n)$$

eşitliklerini sağlamaktadır. Buna göre $f(3900)$ kaçtır?

a) $16$ b) $32$ c) $64$ d) $128$ e) $256$

7 farklı top 5 farklı kutuya, en az 2 kutu boş kalacak biçimde kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

a) $19325$ b) $19675$ c) $19855$ d) $20015$ e) $20185$

Çeşitkenar bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde $|BD| = |EC| < |BE|$ olacak şekilde $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $|AB| = 3|AD| + |AE|$ ve $|AC| = |AD| + 3|AE|$ ise, $\dfrac{|BC|}{|DE|}$ kaçtır?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) Hiçbiri

Kaç tane $n$ pozitif tam sayısı için $n^3$ sayısının rakamları toplamı $4n$ sayısına eşittir?

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

Bir $(a_n)_{n=1}^{100}$ gerçel sayı dizisi $a_1 = 3$ ve her $n = 1, 2, \ldots, 99$ için

$$a_{n+1} = a_n + 1 - \frac{2}{n^2 + n}$$

eşitliğini sağlıyorsa, $a_1 + 2a_2 + \cdots + 100a_{100}$ toplamı kaçtır?

a) 335850 b) 338505 c) 338550 d) 383505 e) 383550

Bir çember etrafına yazılmış olan sıfırdan farklı 200 sayı, komşu sayılar farklı renkte olacak şekilde kırmızı ve beyaz renge boyanmıştır. Her kırmızı sayı iki komşusunun çarpımına, her beyaz sayı ise iki komşusunun toplamına eşittir. Buna göre bu 200 sayının toplamı kaçtır?

a) 60 b) 65 c) 70 d) 75 e) 80

Bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinden ve $[BC]$ kenarının orta noktasından geçen doğru $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez $D$ noktasında kesmektedir. $|AB| = 15$, $|BC| = 24$ ve $m(\widehat{ABC}) = 2 \cdot m(\widehat{BCD})$ ise, $|DC|$ kaçtır?

a) 9 b) 10 c) 12 d) 14 e) 15

$n = 5, 7, 11, 13, 121$ değerlerinden kaç tanesi için $\dfrac{k^2+3k+5}{n}$ tam sayı olacak şekilde $k$ tam sayısı bulunmaz?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere,

$$x^4 - x^3 + (a+b-2)x^2 + (b-2a)x + ab$$

polinomunun 4 farklı gerçel kökü varsa, $4a+b$ toplamı $\dfrac{5}{16}, \dfrac{7}{12}, \dfrac{7}{6}, \dfrac{17}{8}$ ve $\dfrac{5}{2}$ değerlerinden kaç tanesini alabilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Bir sıraya dizilmiş 58 cücenin 29 tanesinin kavuğu kırmızı, diğer 29 tanesinin kavuğu ise beyaz renktedir. Başlangıçtaki diziliş nasıl olursa olsun, en fazla $k$ tane kırmızı ve en fazla $k$ tane beyaz kavuklu cüceyi sıradan çıkartarak sırada kalan farklı renkte kavuğa sahip en fazla bir ardışık cüce ikilisi bulunması sağlanabiliyorsa, $k$ en az kaçtır?

a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 24

Köşeleri $O$ merkezli bir $\omega$ çemberi üzerinde yer alan bir $ABCD$ karesi veriliyor. $[CD]$ kenarının orta noktasından geçen bir doğru $\omega$ çemberinin küçük $CD$ yayını $K$ de, küçük $AD$ yayını $L$ noktasında kesiyor. $m(\widehat{KOL}) = 120^\circ$ ise, $m(\widehat{KDC})$ kaçtır?

a) $15^\circ$ b) $20^\circ$ c) $22,5^\circ$ d) $25^\circ$ e) $30^\circ$

$a, b, c \in \{1, 2, \dots, 29\}$ olmak üzere, $$\frac{a^5 + b^6 + c^7 - 2021}{29}$$ ifadesinin bir tam sayı olmasını sağlayan kaç farklı $(a, b, c)$ üçlüsü vardır?

a) $812$ b) $832$ c) $836$ d) $839$ e) $841$

$n$ sayısının $2041$, $2042$, $2043$, $2044$ ve $2045$ değerlerinden kaç tanesi için, $$P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 2021 \quad \text{ve} \quad P(m) = n$$ olacak şekilde tam sayı katsayılı bir $P(x)$ polinomu ve $m$ tam sayısı bulunur?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) $5$

Sekiz tane $1$ ve sekiz tane $0$, $4 \times 4$ bir tablonun birim karelerine her bir birim karede bir sayı bulunacak şekilde yerleştirilecektir. Bu işlem, hem herhangi bir satırdaki sayıların toplamı hem de herhangi bir sütundaki sayıların toplamı tek sayı olacak şekilde kaç farklı biçimde yapılabilir?

a) $72$ b) $96$ c) $108$ d) $128$ e) $144$

Herhangi üçünden bir geniş açılı üçgen oluşturulabilen $n$ çubuk bulunuyorsa, $n$ en fazla kaç olabilir?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) Hiçbiri

$a$, $b$, $c$ ve $k$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $a+b+c=939$ ve $a\cdot b\cdot c$ sayısı $10^k$ ile tam bölünüyorsa, $k$ en fazla kaç olabilir?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

$a$ bir gerçel sayı olmak üzere, $x^3+ax^2+108=0$ denklemini sağlayan tam olarak iki farklı $x$ gerçel sayısı bulunmaktadır. Buna göre $a$ kaçtır?

a) $-6$ b) $-3$ c) 4 d) 8 e) Hiçbiri

Başlangıçta bir tahtada 29 sayısı yazılıdır. Her işlemde tahtada yazılı $a$ sayısı silinip yerine $17a+1$ ya da $a-7$ sayılarından biri yazılıyor. Sonlu sayıda işlem sonucunda tahtada yazılı olamayacak en küçük beş basamaklı pozitif tam sayı kaçtır?

a) 10002 b) 10003 c)10004 d) 10005 e) 10006

Bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $m(\widehat{ACB}) = 100^\circ$, $m(\widehat{ACD}) = 30^\circ$ ve $m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{DBC}) = 20^\circ$ ise, $m(\widehat{DAC})$ kaçtır?

a) $40^\circ$ b) $45^\circ$ c) $50^\circ$ d) $55^\circ$ e) Hiçbiri

$n^3 - 4m^3 + 3n^2m = 20$ denklemini sağlayan kaç farklı $(m,n)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

$f(x) = x^2(x-1)(x-3)$ olmak üzere,

$$\sum_{n=1}^{12} f(x_n) = -4$$

denklemini sağlayan $(x_1, x_2, \ldots, x_{12})$ tam sayı 12-lilerinin sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır?

a) 0 b) 3 c) 6 d) 7 e) 9

$A_1, A_2, \ldots, A_k$ kümeleri $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ kümesinin üç elemanlı alt kümeleridir. Bu alt kümelerin herhangi ikisinin kesişimi en fazla bir eleman içeriyorsa, $k$ en fazla kaçtır?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

Bir $ABC$ üçgeninde sırasıyla $[BC]$, $[AC]$ ve $[AB]$ kenarları üzerinde alınan $D$, $E$ ve $F$ noktaları için $AD$, $BE$ ve $CF$ noktadaştır. $|BD| = |CD|$, $CF \perp AB$, $|CF| = 8$, $|DF| = 5$ ve $|EF| = 6$ ise, $|BE|$ kaçtır?

a) $\dfrac{18}{\sqrt{5}}$ b) $4\sqrt{5}$ c) $5\sqrt{5}$ d) $6\sqrt{5}$ e) $\dfrac{24}{\sqrt{5}}$

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $n^2$ yi tam bölen ancak $n$ yi tam bölmeyen pozitif tam sayıların sayısı 9 ise, $n$ sayısının pozitif tam bölen sayısı kaç farklı değer alabilir?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) Hiçbiri

$x_1, x_2, \dots, x_5$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere,

$$\frac{64}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} + \frac{x_2^2}{x_3} + \frac{x_3^2}{x_4} + \frac{x_4^2}{x_5} + 8x_5^2$$

ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) $\dfrac{119}{4}$ b) $\dfrac{121}{4}$ c) $\dfrac{251}{8}$ d) $\dfrac{63}{2}$ e) 32

Bir koordinat düzleminin orijininde bir bilye bulunmaktadır. $k$ verilmiş bir pozitif tam sayı olmak üzere, her hamlede eksenlerden biri seçiliyor ve bilye önce seçilen eksene paralel şekilde $k$ birim, sonra diğer eksene paralel şekilde de 1 birim öteleniyor. $k = 4, 7, 10, 29, 42$ değerlerinin kaçı için bilye tam sayı koordinatlı istenilen herhangi bir noktaya taşınabilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Bir $A_1A_2\dots A_9$ düzgün dokuzgeninde $A_1A_5$ ile $A_2A_7$ doğruları $B$ noktasında, $A_1A_5$ ile $A_4A_8$ doğruları da $C$ noktasında kesişiyor. $[A_3B]$ üzerinde $m(\widehat{A_3A_2D}) = 15^\circ$ olacak şekilde bir $D$ noktası alınıyor. $A_7BC$ üçgeninin alanının $BCD$ üçgeninin alanına oranı kaçtır?

a) $1$ b) $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ c) $\sqrt{3}$ d) $2$ e) Hiçbiri

$p>2$ bir asal sayı olmak üzere, $2^1, 2^2, \dots, 2^{p-1}$ sayılarının $p$ ile bölümünden kalanlarının kümesi $m$ elemanlı olmak üzere $2^{m-1} < p$ sağlanıyorsa, $p$ sayısına güzel asal diyelim. 2021 den küçük kaç tane güzel asal sayı vardır?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) Hiçbiri

$xy(x-y-1)=6$ eşitliğini sağlayan $x$ ve $y$ pozitif gerçel sayıları için $x+y$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

a) $4$ b) $3\sqrt{2}$ c) $\sqrt{21}$ d) $2\sqrt{6}$ e) $2\sqrt{7}$

Aslı ve Zehra başlangıçta hiçbir köşesi boyalı olmayan bir düzgün $2n$-gen üzerinde bir oyun oynuyorlar. Oyuna Aslı başlıyor ve oyuncular sırayla hamle yapıyorlar. Sırası gelen oyuncu ya boyalı olmayan bir köşeyi ya da çokgenin merkezine göre simetrik olan ve hiçbiri boyalı olmayan iki köşeyi boyuyor. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun $n=6, 12, 17, 29, 32$ değerleri için birer kez oynanırsa, Aslı bu oyunların kaç tanesini kazanmayı garantileyebilir?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) $5$