TR-MO-R1 2018

$m(\widehat{BAC}) = 140^\circ$ ve $m(\widehat{ABC}) = 30^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninde, $A$ noktasının $BC$ doğrusuna göre simetriği $D$, $B$ noktasının $AC$ doğrusuna göre simetriği ise $E$ dir. $m(\widehat{DEC})$ kaçtır?

a) $35^\circ$ b) $40^\circ$ c) $45^\circ$ d) $50^\circ$ e) $55^\circ$

$x_0, x_1, \dots, x_{2018}$ tam sayıları $x_0 = 1$, $x_1 = 2$ ve her $n \geq 1$ için $x_{n+1} = 3x_n - 2x_{n-1}$ koşulunu sağlıyorsa, $x_{2018}$ sayısının 2018 ile bölümünden kalan kaçtır?

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

$(x^2 - 2x\sqrt{2} + 7)(y^2 + 2y\sqrt{3} + 8) = 25$ denklemini sağlayan kaç farklı $(x, y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Sonsuz çoklukta

Her elemanı $6^{12}$ sayısının bir pozitif böleni olan ve herhangi iki farklı elemanının çarpımı tam küp olmayan bir kümede en çok kaç eleman bulunabilir?

a) 65 b) 70 c) 73 d) 77 e) 80

$C$ açısı dik olan bir $ABC$ üçgeninde $4|AC| = 3|BC|$ dir. $ABC$ nin iç teğet çemberi $BC$ ye $D$ de, $AC$ ye ise $E$ de teğettir. $AD$ doğrusu iç teğet çemberi $D$ den farklı bir $S$ noktasında, $BE$ doğrusunu ise $T$ noktasında kesiyor. $\dfrac{|AS|}{|TD|}$ kaçtır?

a) $\dfrac{3}{2}$ b) $\dfrac{5}{3}$ c) $\dfrac{11}{7}$ d) $\dfrac{18}{11}$ e) $\dfrac{22}{15}$

Bir $a$ pozitif tam sayısını tam bölmeyen en küçük pozitif tam sayıya $a$ nın ilk bölmeyeni diyelim. Kaç $n \le 26$ pozitif tam sayısı için ilk bölmeyeni $n$ olan bir pozitif tam sayı bulunur?

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

$n_1, n_2, \dots, n_{2018}$ tam sayılar olmak üzere,

$$n_1^2 + n_2^2 + \cdots + n_{2018}^2 + 4036 = 3(n_1 + n_2 + \cdots + n_{2018})$$

eşitliği sağlanıyorsa, $n_1^2 + n_2^2 + \cdots + n_{2018}^2$ toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?

a) 1 b) 2019 c) 6055 d) $2^{2018}$ e) Hiçbiri

$12 \times 12$ satranç tahtasının birim karelerinden $k$ tanesi kırmızı ve $k$ tanesi mavi renge, hiçbir kırmızı birim karenin hiçbir komşusu (ortak kenar veya köşeye sahip birim kareler) boyanmayacak şekilde boyanabiliyorsa, $k$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30

$ABCD$ dışbükey dörtgeninde $|AD| = |CD|$, $m(\widehat{ADB}) = 38^\circ, m(\widehat{CDB}) = 42^\circ, m(\widehat{ABC}) = 140^\circ$ olduğuna göre $m(\widehat{BAC})$ kaçtır?

a) $17^\circ$ b) $18^\circ$ c) $19^\circ$ d) $20^\circ$ e) $21^\circ$

Tam olarak 26 farklı tam kare ile bölünebilen en küçük pozitif tam sayının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

$$x^2 + xy - y^2 = 10x$$ $$x^3 - xy^2 + y^2 = 10y$$

denklem sistemini sağlayan kaç farklı $(x, y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Tahtada başlangıçta 2018 sayısı yazılıdır. Her hamlede tahtadaki sayı silinip yerine o sayının 12 eksiği veya 9 katının 4 eksiği yazılıyor. Aşağıdaki sayılardan hangisi sonlu sayıda hamle sonucunda tahtada yazılı olabilir?

a) $2^{29} + 2$ b) $3^{30} + 1$ c) $4^{31} + 1$ d) $5^{32} + 4$ e) $6^{33} + 2$

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = |AC| = 2, |BC| = \sqrt{2}$ dir. $[BC]$ nin orta noktası $D$, $[AC]$ nin orta noktası ise $E$ dir. $ABC$ nin çevrel çemberi üzerinde $AB$ doğrusuna göre $C$ ile farklı tarafta olan ve $|PC|^2 = |PD|^2 + |PE|^2$ eşitliğini sağlayan bir $P$ noktası alınıyor. $|PA| + |PB|$ kaçtır?

a) $1+\sqrt{2}$ b) $1+\sqrt{3}$ c) $2\sqrt{2}$ d) $2\sqrt{3}$ e) $3$

$k, n_1, n_2, \dots, n_k$ pozitif tam sayılar olmak üzere $4^{n_1} + 4^{n_2} + \cdots + 4^{n_k}$ sayısı 43 ile tam bölünüyorsa, $k$ en az kaç olabilir?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

$x$ bir irrasyonel sayı olmak üzere, $x^2 - 2x$ ve $x^3 - 5x$ rasyonel sayılar ise, $x^3 - 5x$ kaçtır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

$1, 2, \dots, 7$ sayılarıyla numaralandırılmış yedi kutunun her birine en az 1 ve en çok 10 olmak üzere, bilyeler dağıtılacaktır. Böyle bir dağılımda $i < j$ olmak üzere, $i$ numaralı kutudaki bilye sayısı $j$ numaralı kutudaki bilye sayısından az değilse, $(i, j)$ ikilisine ters ikili diyelim. Tam olarak bir ters ikili içeren kaç dağılım vardır?

a) 720 b) 1260 c) 1520 d) 1980 e) 2310

$m(\widehat{ACB}) = 60^\circ$ olan dar açılı bir $ABC$ üçgeninde diklik merkezi $H$ ve $A$ dan karşı kenara indirilen dikmenin ayağı $D$ dir. $[AC]$ üzerinde $|BD| \cdot |CD| = |ED|^2$ olacak şekilde bir $E$ noktası alınıyor. $|BH| = 7|EH|$ ise $\dfrac{|AE|}{|CE|}$ kaçtır?

a) $\dfrac{1}{7}$ b) $\dfrac{1}{6}$ c) $\dfrac{1}{5}$ d) $\dfrac{1}{4}$ e) $\dfrac{1}{3}$

$2^{2^n} + 2^n + n$ ifadesinin 7 ile tam bölünmesini sağlayan kaç $n \leq 420$ pozitif tam sayısı vardır?

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

Bir $a_1, a_2, \ldots, a_{100}$ pozitif gerçel sayı dizisinde $a_1 = 1$ ve her $n = 1, 2, \ldots, 99$ için

$$\frac{1}{a_{n+1}} + \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(a_i + a_{i+1})\sqrt{a_i^2 + i^2}} = 1$$

sağlanıyorsa, $a_{100}$ kaçtır?

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

$1, 2, \ldots, 26$ sayılarıyla numaralandırılmış 26 böcek başlangıçta $k$ numaralı böcek $(k, 0)$ noktasında bulunacak şekilde koordinat düzlemine yerleştirilmiştir. Her hamlede tam olarak bir böcek bulunduğu $(a, b)$ noktasından $(a+1, b), (a-1, b), (a, b+1),$ $(a, b-1)$ noktalarından birine, atlayacağı noktada başka bir böcek bulunmuyorsa, atlıyor. En az kaç hamle sonucunda her $k = 1, 2, ..., 26$ için $k$ nolu böcek $(27-k, 0)$ noktasında bulunabilir?

a) 384 b) 386 c) 388 d) 390 e) 392

Bir $ABC$ üçgeninde $B$ köşesine ait iç açıortay karşı kenarı $D$ de, $C$ ye ait iç açıortay ise karşı kenarı $E$ de kesiyor. $m(\widehat{AED}) = m(\widehat{DEC})$ olduğuna göre $m(\widehat{EDB})$ kaçtır?

a) $15^\circ$ b) $30^\circ$ c) $45^\circ$ d) $60^\circ$ e) $75^\circ$

$m$ ve $n$ tam sayılar olmak üzere, $(m+n^2)(m+1) = 4mn$ eşitliği sağlanıyorsa $m+n$ ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

a) $-2$ b) $-1$ c) $0$ d) $1$ e) $2$

$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere, $2x + 16y = x^2 + y^2$ eşitliği sağlanıyorsa, $7x + 4y$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

a) $-32$ b) $-30$ c) $-28$ d) $-26$ e) $-24$

Bir sözlü sınava katılan $26$ öğrencinin her birine sabah seansında $1$ ve akşam seansında $1$ olmak üzere, $2$ farklı soru soruluyor. Sorulan soruların hepsinin aynı kitaptan olduğu, bir sorunun aynı seansta birden fazla öğrenciye sorulmadığı ve her öğrenci için o öğrenciye sorulan $2$ sorudan en az birinin başka hiçbir öğrenciye sorulmadığı biliniyor. Buna göre kitapta en az kaç soru bulunabilir?

a) $28$ b) $33$ c) $36$ d) $42$ e) Hiçbiri

Bir $A_1A_2\dots A_{26}$ düzgün 26-geninde $A_1A_9, A_1A_{15}, A_1A_{16}$ doğruları $A_8A_{21}$ doğrusunu sırasıyla $B, C, D$ noktalarında kesiyorlar. $\dfrac{|A_8B|}{|CD|}$ kaçtır?

a) $1$ b) $\sqrt{2}$ c) $\sqrt{3}$ d) $2$ e) $3$

2 nin tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin $p$ ile bölümünden kalanların alabileceği farklı değerlerin toplamının $p$ ye eşit olmasını sağlayan 2018 den küçük kaç farklı $p$ asalı vardır?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) $5$

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, $P(x) = x^4 + (a+b)x^3 + (a+b+ab)x^2 + (a^2+b^2)x + ab$ polinomunun gerçel kökü yoksa, $(a-2)^2 + (b-2)^2$ ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri nedir?

a) $9$ b) $7$ c) $5$ d) $3$ e) $1$

Masadaki üç kutuda başlangıçta $k, l$ ve $m$ bilye bulunuyor. İki oyuncu sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar ve her hamlede sırası gelen oyuncu kutuların birini veya ikisini seçip seçtiği kutu veya kutulardan birer bilye alıyor. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun $(k, l, m) = (2017, 2018, 2018), (2017, 2018, 2019), (2018, 2018, 2018), (2018, 2019, 2019)$ ve $(2019, 2019, 2019)$ için birer kez oynanırsa, oyuna başlayan oyuncu bu oyunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) $5$

Ayrıt uzunlukları 1,2,3 cm olan bir dikdörtgenler prizmasında $A$ köşesine en uzak köşe $F$ olsun. Daima dikdörtgenler prizmasının yüzeyinde hareket etmek şartı ile $A$ köşesinden $F$ köşesine giden bir karınca en az kaç cm yol gitmelidir?

a) $4$ b) $3\sqrt{2}$ c) $2\sqrt{5}$ d) $3+\sqrt{5}$ e) $2+\sqrt{10}$

$m$ ve $n$ pozitif tam sayılar, $p$ bir asal sayı olmak üzere kaç farklı $(m,n,p)$ üçlüsü için $\dfrac{13^m + p\cdot 2^n}{13^m - p\cdot 2^n}$ sayısı bir pozitif tam sayıdır?

a) $0$ b) $1$ c) $2$ d) $3$ e) Hiçbiri

$0 < x \le 1$ olmak üzere, $\sqrt{1+\dfrac{4}{x}} - \sqrt{1-x}$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) $1$ b) $2$ c) $3-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ d) $\sqrt{5}$ e) Hiçbiri

26 takımın katıldığı bir turnuvada her takım ikilisi aralarında tam olarak bir maç yapıyor. $A$ takımı $B$ takımını, $B$ takımı $C$ takımını, $C$ takımı da $A$ takımını yenerse $\{A,B,C\}$ kümesine tuhaf küme diyelim. Bu turnuvada tuhaf küme sayısı en çok kaç olabilir?

a) $684$ b) $696$ c) $712$ d) $728$ e) $736$