TR-MO-R1 2011

Aşağıdakilerden hangisi, $[AB]$ ve $[CD]$ kenarlarının orta dikmeleri $[AC]$ köşegeni üstündeki bir noktada kesişen her $ABCD$ dışbükey dörtgeni için doğrudur?

a) $|BA|+|AD| \leq |BC|+|CD|$ b) $|BD| \leq |AC|$ c) $|AC| \leq |BD|$

d) $|AD|+|DC| \leq |AB|+|BC|$ e) Hiçbiri

$(x+1)^{65}$ polinomunun kaç katsayısı 65 e bölünmez?

a) 20 b) 18 c) 16 d) 3 e) Hiçbiri

$1+\sqrt{n^2-9n+20} > \sqrt{n^2-7n+12}$ eşitsizliğini sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Hiçbiri

$\{1,2,\dots,20\}$ kümesinin 8 elemanlı altkümelerinden kaçı ardışık sayılar içermez?

a) $\dbinom{13}{8}$ b) $\dbinom{13}{9}$ c) $\dbinom{14}{8}$ d) $\dbinom{14}{9}$ e) $\dbinom{20}{15}$

$m(\widehat{ABC}) = 90^\circ$ olmak üzere, $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarını çap alan çember $[AC]$ kenarını $D$ noktasında, çembere $D$ de teğet olan doğru da $BC$ yi $E$ noktasında kesiyor. $|EC| = 2$ ise, $|AC|^2 - |AE|^2$ nedir?

a) $18$ b) $16$ c) $12$ d) $10$ e) Hiçbiri

Kaç $p$ asal sayısı için, $|p^4 - 86|$ sayısı da asaldır?

a) $0$ b) $1$ c) $2$ d) $3$ e) $4$

$x_1$ ve $x_2$ sayıları $x^2 + 5x - 7 = 0$ denkleminin farklı gerçel kökleri ise, $x_1^3 + 5x_1^2 - 4x_1 + x_1^2 x_2 - 4x_2$ nedir?

a) $-15$ b) $175 + 25\sqrt{53}$ c) $-50$ d) $20$ e) Hiçbiri

Pozitif tam sayılardan oluşan $n$ elemanlı her kümenin toplamları $6$ ile bölünen altı elemanı bulunabiliyorsa, $n$ en az kaç olabilir?

a) $13$ b) $12$ c) $11$ d) $10$ e) $9$

$m(\widehat{ADC}) = 90^\circ$ olan bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $D$ den geçen ve $BC$ ye paralel olan doğru $AB$ doğrusunu $E$ noktasında kesiyor. $m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{DAE})$, $|AB| = 3$ ve $|AC| = 4$ ise, $|AE|$ nedir?

a) $\dfrac{5}{6}$ b) $\dfrac{1}{3}$ c) $\dfrac{1}{2}$ d) $1$ e) $\dfrac{3}{4}$

$0 \le x, y, z < 2011$ olmak üzere, $xy + yz + zx \equiv 0 \pmod{2011}$ ve $x + y + z \equiv 0 \pmod{2011}$ koşullarını sağlayan kaç $(x, y, z)$ tam sayı üçlüsü vardır?

a) $2010$ b) $2011$ c) $2012$ d) $4021$ e) $4023$

$x^5 + x^4 - 4x^3 - 7x^2 - 7x - 2$ polinomumun farklı gerçel köklerinin toplamı nedir?

a) $0$ b) $1$ c) $2$ d) $-2$ e) $7$

Bir okuldaki $100$ öğrenciden her biri aynı okuldaki istediği $50$ öğrenciye mesaj yollamıştır. Karşılıklı olarak mesajlaşmış öğrenci çiftlerinin sayısı en az kaç olabilir?

a) $100$ b) $75$ c) $50$ d) $25$ e) Hiçbiri

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $A$, $B$, $C$ köşelerine ait yüksekliklerin ayakları sırasıyla, $D$, $E$, $F$ dir. $|DF| = 3$, $|FE| = 4$, $|DE| = 5$ ise, $DE$ ye teğet olan $C$ merkezli çemberin yarıçapı nedir?

a) $7$ b) $6$ c) $5$ d) $4$ e) $3$

$2011^{\left(2011^{\left(2011^{\left(2011^{2011}\right)}\right)}\right)}$ sayısının $19$ ile bölümünden kalan nedir?

a) $5$ b) $4$ c) $3$ d) $2$ e) $1$

Aşağıdaki $(a, b)$ ikililerinden hangisi için, $x + 2y < a$ ve $xy > b$ eşitsizliklerini sağlayan hiçbir $(x, y)$ pozitif gerçel sayı ikilisi yoktur?

a) $\left(\dfrac{15}{7}, \dfrac{4}{7}\right)$ b) $\left(\dfrac{18}{11}, \dfrac{1}{3}\right)$ c) $\left(\dfrac{5}{7}, \dfrac{1}{16}\right)$ d) $\left(\dfrac{6}{7}, \dfrac{1}{11}\right)$ e) Hiçbiri

Ağırlıkları pozitif tam sayılar olan herhangi $2011$ taş, biri diğerinin iki katı ağırlıkta iki taş içermeyen $n$ öbeğe ayrılabiliyorsa, $n$ en az kaç olabilir?

a) $102$ b) $51$ c) $12$ d) $11$ e) Hiçbiri

$ABC$ eşkenar üçgeninin iç bölgesindeki bir $D$ noktası için, $|AD| = \sqrt{2}$, $|BD| = 3$ ve $|CD| = \sqrt{5}$ ise, $m(\widehat{ADB})$ nedir?

a) $120^\circ$ b) $105^\circ$ c) $100^\circ$ d) $95^\circ$ e) $90^\circ$

Kaç pozitif tam sayı $n(n^2-1)(n^2+3)(n^2+5)$ ifadesini $n$ nin tüm pozitif tam sayı değerleri için böler?

a) 16 b) 12 c) 8 d) 4 e) Hiçbiri

Aşağıdaki eşitsizliklerden hangisinin $xy$-düzleminde tanımladığı bölge ile kesişimi tam olarak iki noktadan oluşan bir doğru bulunur?

a) $x^2+y^2 \le 1$ b) $|x+y|+|x-y| \le 1$ c) $|x|^3+|y|^3 \le 1$

d) $|x|+|y| \le 1$ e) $|x|^{1/2}+|y|^{1/2} \le 1$

100 öğrencinin girdiği bir sınavda 5 soru sorulmuş ve her soruyu tam olarak 50 öğrenci çözmüştür. Çözdüğü soru sayısı ikiyi aşmayan öğrencilerin sayısı en az kaç olabilir?

a) 21 b) 18 c) 17 d) 16 e) Hiçbiri

Bir $ABCD$ eşkenar dörtgeninin iç bölgesinde yer alan bir $E$ noktası $|AE| = |EB|$, $m(\widehat{EAB}) = 11^\circ$ ve $m(\widehat{EBC}) = 71^\circ$ koşullarını sağlıyorsa, $m(\widehat{DCE})$ nedir?

a) $72^\circ$ b) $71^\circ$ c) $70^\circ$ d) $69^\circ$ e) $68^\circ$

$f(0) = 0$, $f(1) = 1$ ve her $n \geq 1$ için, $f(3n-1) = f(n) - 1$, $f(3n) = f(n)$, $f(3n+1) = f(n) + 1$ ise, $f(2011)$ nedir?

a) $7$ b) $5$ c) $3$ d) $1$ e) $0$

$xy$-düzlemindeki tam sayı koordinatlı noktalardan koordinatları çarpımı 6 ile bölünenler kırmızıya, bölünmeyenler ise beyaza boyanıyor. Kenarları koordinat eksenlerine paralel çok büyük bir karenin içinde kalan tam sayı koordinatlı noktalardan beyaz olanların sayısının kırmızı olanların sayısına oranı aşağıdakilerden hangisine en yakındır?

a) $\dfrac{7}{5}$ b) $\dfrac{3}{2}$ c) $2$ d) $\dfrac{4}{3}$ e) $\dfrac{5}{4}$

$r_1, r_2, \ldots, r_n$ renklerinde sırasıyla, $a_1, a_2, \ldots, a_n$ topun bulunduğu bir torbadan, her seferinde çekilen top torbaya geri konmak koşuluyla, birer birer rastgele $n$ top çekildiğinde bu toplardan en az ikisinin aynı renkte olma olasılığını $p(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ ile gösterirsek, aşağıdakilerden hangisi en küçüktür?

a) $p(2,2,2,1)$ b) $p(1,1,1,1)$ c) $p(2,2,3)$ d) $p(2,2,1)$ e) $p(1,1,1)$

$ABCDE$ düzgün dışbükey beşgeninin alanının, kenarları $AC$, $CE$, $EB$, $BD$, $DA$ doğruları üstünde yer alan düzgün dışbükey beşgenin alanına oranı nedir?

a) $\dfrac{41}{6}$ b) $\dfrac{3+5\sqrt{5}}{2}$ c) $4+\sqrt{5}$ d) $\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}$ e) Hiçbiri

$0 \le a < 2^{2008}$ ve $0 \le b < 8$ tam sayıları $7(a + 2^{2008}b) \equiv 1 \pmod{2^{2011}}$ denkliğini sağlıyorsa, $b$ nedir?

a) $3$ b) $5$ c) $6$ d) $7$ e) Hiçbiri

$(a_n)_{n=1}^{\infty}$ gerçel sayı dizisi $a_1 = 1$, $a_3 = 4$ ve her $n \ge 2$ için, $a_{n+1} + a_{n-1} = 2a_n + 1$ koşulunu sağlıyorsa, $a_{2011}$ nedir?

a) $2^{2010}$ b) $2021056$ c) $1010528$ d) $3016$ e) $2011$

$1, 2, \ldots, 4022$ sayıları $2 \times 2011$ bir satranç tahtasının birim karelerine, iki sayı aynı birim karede olmamak ve ardışık olan sayılar ortak bir kenarı olan birim karelerde yer almak koşuluyla kaç farklı biçimde yerleştirilebilir?

a) $16168444$ b) $12168440$ c) $10088242$ d) $8084224$ e) Hiçbiri

$ABC$ üçgeninin $B$ ve $C$ köşelerinden geçen bir çember $[AB]$ kenarını $D$, $[AC]$ kenarını da $E$ noktasında kesiyor. $ACD$ üçgeninin çevrel çemberi ise, $BE$ doğrusunu $[BE]$ dışındaki bir $F$ noktasında kesiyor. $|AD| = 4$ ve $|BD| = 8$ ise, $|AF|$ nedir?

a) $\sqrt{3}$ b) $2\sqrt{6}$ c) $4\sqrt{6}$ d) $\sqrt{6}$ e) Hiçbiri

$m$ nin hangi değeri için, $3x^2 - 10xy - 8y^2 = m^{19}$ eşitliğini sağlayan hiçbir $(x, y)$ tam sayı ikilisi yoktur?

a) $7$ b) $6$ c) $5$ d) $4$ e) $3$

$i^2 + j^2 + k^2 = 2011$ koşulunu sağlayan $i,\ j,\ k$ tam sayıları için, $i + j + k$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

a) $71$ b) $73$ c) $74$ d) $76$ e) $77$

Başlangıçta bir öbekte $n$ taş bulunuyor. İki oyuncu sırayla hamle yapıyorlar ve her hamlede sırası gelen oyuncu istediği bir $i \geq 0$ tam sayısı için, öbekteki taşlardan $2^i$ tanesini alıyor. Son taşı alan oyuncu oyunu kazanıyor. Oyun $n = 1000, 2000, 2011, 3000, 4000$ değerlerinin her biri için birer kez oynanırsa, bu oyunlardan kaçını oyuna başlayan oyuncu kazanmayı garantileyebilir?

a) $4$ b) $3$ c) $2$ d) $1$ e) Hiçbiri

Bir birim küreye içten ve köşeleri bu küre üstünde yer alan düzgün dörtyüzlünün bir yüzüne de dıştan teğet olan bir kürenin hacmi en çok ne olabilir?

a) $\dfrac{1}{3}$ b) $\dfrac{1}{4}$ c) $\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ d) $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-1\right)$ e) Hiçbiri

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $2^n$ sayısının on tabanına göre yazılımında sağdan en çok kaç basamakta aynı rakam yer alabilir?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) Hiçbiri

Aşağıdaki fonksiyonlar arasında pozitif gerçel sayılar kümesinde aldığı en büyük değer en küçük olan hangisidir?

a) $\dfrac{x^2}{1+x^{12}}$ b) $\dfrac{x^3}{1+x^{11}}$ c) $\dfrac{x^4}{1+x^{10}}$ d) $\dfrac{x^5}{1+x^9}$ e) $\dfrac{x^6}{1+x^8}$

Boyları birbirinden farklı 14 öğrenci başlangıçta nasıl sıralanmış olurlarsa olsunlar, her adımda yanyana duran iki öğrencinin yerini değiştirerek en az kaç adımda öğrencileri boy sırasına sokmak mümkün olur?

a) 42 b) 43 c) 45 d) 52 e) Hiçbiri