TR-MO-R1 2023

$s(\widehat{B}) = 90^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninde $[AB]$ kenarının orta noktası $M$ olmak üzere, $M$ den $AC$ ye çizilen dikmenin $BC$ ile kesişimi $N$ olsun. $|BN| = 8$ ve $|CN| = 17$ ise, $|MN|$ kaçtır?

a) $10$ b) $13$ c) $15$ d) $17$ e) Hiçbiri

$3^{p^2+p+1} + 7^{p^2+p+1}$ sayısının $p$ ile bölünmesini sağlayan kaç tane $p$ asal sayısı vardır?

a) $2$ b) $3$ c) $4$ d) $5$ e) $6$

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere, $4^x + 7^x + 8^x + 10^x + 14^x + 15^x = 17^x + 19^x$ denklemini sağlayan kaç tane $x$ sayısı vardır?

a) $0$ b) $1$ c) $2$ d) $3$ e) Sonsuz çoklukta

$31$ kişiden oluşan bir sınıfta, $4$ öğrenci içeren her grubun içinde kendisi dışındaki diğer $3$ öğrenciyle arkadaş olan en az bir öğrenci bulunuyor. Buna göre bu sınıfta kendisi dışındaki tüm öğrencilerle arkadaş olan öğrenci sayısı en az kaç olabilir?

a) $26$ b) $27$ c) $28$ d) $29$ e) $30$

$m(\widehat{B}) > m(\widehat{C})$ olan bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesine ait iç açıortay ve dış açıortay uzunlukları birbirine eşit ise, $2 \cdot \widehat{A} + 3 \cdot \widehat{B} + \widehat{C}$ kaç derecedir?

a) $360^\circ$ b) $420^\circ$ c) $540^\circ$ d) $630^\circ$ e) Hiçbiri

$(3m+4n)(4m+3n) = 3^{63}$ eşitliğini sağlayan kaç $(m, n)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) $44$ b) $64$ c) $88$ d) $128$ e) Hiçbiri

$x$ bir pozitif gerçel sayı olmak üzere $\lfloor x^2 \rfloor + \lfloor x \rfloor$ şeklinde yazılamayan 2023'ten küçük kaç tane pozitif tam sayı vardır?

a) $1$ b) $12$ c) $22$ d) $44$ e) $90$

Bir yuvarlak masa etrafına oturmuş $31$ öğrenciden üçü, seçilen herhangi iki öğrenci arasında en az $4$ öğrenci bulunması koşuluyla kaç farklı şekilde seçilebilir?

a) $1450$ b) $1471$ c) $1512$ d) $1543$ e) $1581$

$O$ merkezli bir çember üzerinde alınan $A$ ve $B$ noktaları için $m(\widehat{AOB}) = 90^\circ$ dir. Çemberin küçük $AB$ yayı üzerinde alınan bir $C$ noktası ve $[OB]$ üzerinde alınan bir $D$ noktası için $m(\widehat{ACD}) = 90^\circ$ dir. $|AC| = 30$, $|CD| = 16$ ise, $|BD|$ uzunluğu kaçtır?

a) $\sqrt{66}$ b) $2\sqrt{34}$ c) $3\sqrt{34}$ d) $2\sqrt{66}$ e) Hiçbiri

$2^n+3^n+5^n$ sayısının $100$ ile tam bölünmesini sağlayan $2023$ ten küçük kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

a) $50$ b) $101$ c) $150$ d) $202$ e) $251$

$a_1, a_2, \ldots, a_{31}$ dizisi $a_1 = \dfrac{1}{31}$ ve her $n = 1, 2, \ldots, 30$ değeri için $(n+2)a_n = na_{n+1}$ olarak tanımlanmıştır. Buna göre, $a_1 + a_2 + \cdots + a_{31}$ kaçtır?

a) $176$ b) $179$ c) $181$ d) $187$ e) $192$

Bir sıraya dizilmiş $7$ topun her biri kırmızı, mavi ve siyah renklerden birine, yan yana iki siyah top olmayacak şekilde kaç farklı biçimde boyanabiir?

a) $1128$ b) $1158$ c) $1186$ d) $1224$ e) $1296$

Bir kenarının uzunluğu 6 olan $ABCD$ karesinin $[BC]$ kenarı üzerinde $|BE| = 4$ olan bir $E$ noktası alınıyor. $DE \cap AB = \{K\}$ ve $AE \cap DC = \{L\}$ olmak üzere, $EKL$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı nedir?

a) $\dfrac{13\sqrt{10}}{6}$ b) $6$ c) $9$ d) $\dfrac{8\sqrt{13}}{3}$ e) Hiçbiri

$a^3 + 4a^2b - 3ab^2 - 18b^3 = 2023$ eşitliğini sağlayan kaç $(a, b)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) $0$ b) $1$ c) $2$ d) $3$ e) Hiçbiri

$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere, $x^2-xy+y^2-x-2y$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) $-3$ b) $-\frac{7}{3}$ c) $-2$ d) $-\frac{4}{3}$ e) Hiçbiri

$7$ kişilik bir grup içinde bazı tokalaşmalar olmuştur. Tam olarak $1$ kişiyle tokalaşan kişi sayısı $1$, tam olarak $2$ kişi ile tokalaşan kişi sayısı $2$ ve tam olarak $3$ kişi ile tokalaşan kişi sayısı $3$'tür. Buna göre, toplam tokalaşma sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) Hiçbiri

$|AB| = 6$, $|AC| = 8$, $|BC| = 10$ olan bir $ABC$ üçgeni veriliyor. Bu üçgenin çevrel çemberinde $A$ noktasını içermeyen $BC$ yayının orta noktası $D$ olsun. Çevrel çembere $D$ noktasında teğet olan doğrunun $AB$ doğrusuyla kesiştiği nokta $E$ ise, $|ED|$ uzunluğu nedir?

a) $8$ b) $\dfrac{36}{5}$ c) $9$ d) $\dfrac{28}{3}$ e) $\dfrac{35}{4}$

$p$ bir asal sayı, $n < p$ bir pozitif tam sayı olmak üzere,

$$p^2 | n^5 + n^4 + 7n^3 + n^2 + n + 7$$

şartını sağlayan kaç $(n, p)$ ikilisi vardır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

$k \neq -1$ ve $\ell$ verilmiş gerçel sayılar olsun. $\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{y}{y+2} + \dfrac{z}{z+3} = 1$ eşitliğinde $x = k$ iken $yz = \ell$ olmak zorunda ise, $k + \ell$ kaçtır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

$0 * 1 * 2 * 3 * \cdots * 30 * 31$ ifadesindeki 31 tane $*$ işaretinin her birinin yerine $+$ ya da $-$ işareti yazarak kaç farklı pozitif tam sayı elde edilebilir?

a) $224$ b) $248$ c) $312$ d) $368$ e) $496$

Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde köşelerden farklı bir $D$ noktası alınıyor. $|AB| = |AD|$, $\dfrac{|CD|}{|BD|} = 3 + 2\sqrt{3}$, $m(\widehat{ACB}) = 15^\circ$ ise, $m(\widehat{ABC})$ kaçtır?

a) $75^\circ$ b) $60^\circ$ c) $45^\circ$ d) $30^\circ$ e) Hiçbiri

$p$ ve $q$ asal sayılar olmak üzere,

$$\frac{7pq}{1+p+q}$$

ifadesi $\{1, 2, 3, \ldots, 31\}$ değerlerinden kaç tanesine eşit olabilir?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) Hiçbiri

$x^2 = 4y + 1$, $y^2 = x^3 + 1$ denklem sisteminin gerçel sayılarda kaç farklı $(x, y)$ çözüm ikilisi bulunur?

a) $0$ b) $1$ c) $2$ d) $3$ e) $4$

Başlangıçta $1, 2, 3, 4, 5, 6$ sayılarının yazılı olduğu bir tahtada Aslı bir oyun oynuyor. Aslı her hamlesinde tahtadan önce bir $a$ sayısı sonra da bir $b$ sayısı seçiyor. $x^2 - ax + b$ polinomunun iki kökü de pozitif tam sayıysa, Aslı $a$ ve $b$ sayılarını silip yerine bu polinomun iki kökünü yazmaktadır. Aslı, sonlu sayıda hamle sonucunda tahtadaki sayıların çarpımını $14, 16, 20, 24, 32$ sayılarından kaç tanesini yapabilir?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) $5$

$m(\widehat{BAC}) = 90^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninde $A$ noktasından $BC$ kenarına inen dikmenin ayağı $D$ ve $[AD]$ nin orta noktası $E$ olsun. $m(\widehat{BEC}) = 120^\circ$ ise, $\dfrac{|BC|}{|AD|}$ kaçtır?

a) $2$ b) $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ c) $3$ d) $2\sqrt{3}$ e) $4$

$f : \{1, 2, \ldots, 30\} \to \{1, 2, \ldots, 30\}$ birebir bir fonksiyon olmak üzere, en fazla kaç tane $1 \leq a \leq 30$ tam sayısı için $f(1)f(2)\ldots f(a) + 1$ sayısı $31$ ile tam bölünür?

a) $14$ b) $15$ c) $16$ d) $29$ e) $30$

$x, y, z$ pozitif gerçel sayıları

$$x + y + z = 10$$ $$\sqrt{36 - x^2} + \sqrt{49 - y^2} + \sqrt{169 - z^2} = 24$$

denklemlerini sağlıyorsa, $\dfrac{xz}{y}$ aşağıdakilerden hangisidir?

a) $\dfrac{30}{7}$ b) $5$ c) $6$ d) $\dfrac{65}{8}$ e) $\dfrac{49}{3}$

Bir masa üzerinde $k, m$ ve $n$ bilye içeren üç öbek bulunuyor. İki oyuncu sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Sırası gelen oyuncu masa üzerindeki öbeklerden istediği ikisini seçiyor ve bu iki öbeğin daha az bilye içereninden daha fazla bilye içerenine istediği bir pozitif tam sayı adedince bilyeyi aktarıyor (seçilen öbeklerde bilye sayıları eşitse bilyeler öbeklerin herhangi birinden aktarılıyor). Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun $(k, m, n) = (9, 9, 21)$, $(11, 11, 11)$, $(9, 10, 31)$, $(8, 16, 24)$ ve $(9, 22, 22)$ için birer kez oynanırsa, oyuna başlayan oyuncu bu oyunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Bir kenar uzunluğu $50$ olan $ABCD$ karesinin iç bölgesinde bir $\Gamma$ çemberi çiziliyor. $A$ ve $B$ den $\Gamma$ çemberine çizilen teğetlerin uzunlukları $40$, $C$ den $\Gamma$ çemberine çizilen teğetin uzunluğu $30$ ise, $\Gamma$ çemberinin yarıçapı kaçtır?

a) $4$ b) $5$ c) $6$ d) $7$ e) Hiçbiri

$1^1 + 2^2 + 3^3 + 4^4 + \cdots + (31!)^{(31!)}$ sayısının 31 ile bölümünden kalan nedir?

a) $0$ b) $1$ c) $15$ d) $16$ e) $30$

$$(xy+2)^2+10(x+y)+21=2(x^3+y^3)+5(x^2+y^2)$$

eşitliğini sağlayan $x$ ve $y$ gerçel sayıları için, $x^2+y^2$ en az kaçtır?

a) $2$ b) $3$ c) $4$ d) $5$ e) Hiçbiri

$32 \times 31$ bir tahtanın tüm birim karelerine farklı birer gerçel sayı yazılmıştır. Bir birim karedeki sayı, bu birim kareyle en az bir ortak köşe paylaşan birim karelerdeki sayıların en fazla birinden küçükse bu birim kareye özel birim kare diyelim. Özel birim kare sayısı en fazla kaç olabilir?

a) $480$ b) $488$ c) $496$ d) $505$ e) $512$