TR-MO-R1 2022

Bir $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7$ düzgün yedigeninde $[A_2A_6]$ doğru parçası üzerinde $|A_6B| + |A_6A_7| = |A_4A_7|$ olacak biçimde bir $B$ noktası alınıyor. $m(\widehat{BA_7A_6})$ kaç derecedir?

a) $90^\circ$ b) $\dfrac{540^\circ}{7}$ c) $75^\circ$ d) $60^\circ$ e) $\dfrac{360^\circ}{7}$

Tüm pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı kendisinin küpü olan kaç iki basamaklı pozitif tam sayı vardır?

a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 20

Her $a$ gerçel sayısı için $\lfloor a \rfloor$ ile $a$ sayısından büyük olmayan en büyük tam sayı gösteriliyor. $x$ bir pozitif gerçel sayı olmak üzere, $\lfloor 2x \rfloor + \lfloor 3x \rfloor + \lfloor 5x \rfloor$ sayısının birler basamağı kaç farklı değer alabilir?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

$n$ adet özdeş top, 30 kız ve 77 erkek öğrenciye dağıtılacaktır. Bu dağıtım, her öğrenci en az bir adet, herhangi iki kız öğrenci eşit sayıda ve herhangi iki erkek öğrenci eşit sayıda top alacak biçimde tek bir şekilde yapılabiliyorsa, $n$ en fazla kaç olabilir?

a) 321 b) 963 c) 2695 d) 4620 e) 6930

Bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarına ait kenarortay ile $B$ açısının iç açıortayı $D$ noktasında dik kesişmektedir. $CD$ doğrusunun $[AB]$ kenarını kestiği nokta $E$ ise, $\dfrac{|BC|}{|AE|}$ nedir?

a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) Hiçbiri

$a_1 = 12$ ve her $n = 1, 2, \ldots, 2021$ için $a_{n+1} = 12^{a_n}$ koşulunu sağlayan bir $(a_n)$ tam sayı dizisi tanımlanıyor. $a_{2022}$ sayısının 67 ile bölümünden kalan kaçtır?

a) 1 b) 4 c) 9 d) 16 e) 25

$1 \leq a, b \leq 2022$ ve $\sqrt{a - \sqrt{a+b}} = b$ koşullarını sağlayan kaç $(a, b)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) 1 b) 2 c) 21 d) 36 e) Hiçbiri

$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ olmak üzere, her biri çift sayıda eleman içerecek ve herhangi iki tanesinin kesişiminde çift sayıda eleman bulunacak şekilde $S$ nin en fazla kaç farklı alt kümesi seçilebilir? (Boş kümede çift sayıda eleman olduğu kabul ediliyor.)

a) 16 b) 14 c) 12 d) 10 e) 8

$|AB| = 1, |BC| = 2$ ve $m(\widehat{ABC}) = 90^\circ$ koşullarını sağlayan bir $ABC$ üçgeninde $D$ noktası, $B$ noktasının $AC$ doğrusuna göre simetriği olsun. $[AB]$ ve $[BC]$ kenarlarına teğet olan ve $D$ noktasından geçen çemberin yarıçapı kaçtır?

a) $\dfrac{1}{3}$ b) $\dfrac{1}{2}$ c) $\dfrac{2}{3}$ d) $\dfrac{3}{4}$ e) $\dfrac{4}{5}$

Kaç $n < 2023$ pozitif tam sayısı için $\dfrac{n^6 + n^4 - n^2 - 1}{2022}$ ifadesi bir tam sayıdır?

a) 8 b) 6 c) 5 d) 3 e) 2

$a_1 < a_2 < \cdots < a_{2022}$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $$\frac{1}{a_1} + \frac{2}{a_2} + \cdots + \frac{2022}{a_{2022}}$$ şeklinde yazılabilen kaç pozitif tam sayı vardır?

a) 100 b) 501 c) 812 d) 1011 e) 2022

21 öğrenciden oluşan bir sınıfta bazı öğrenciler arkadaştır (arkadaşlık karşılıklıdır). Bu sınıfta arkadaş sayıları eşit olan iki arkadaş bulunmuyorsa, bu sınıftaki arkadaş ikililerinin sayısı en fazla kaç olabilir?

a) 175 b) 177 c) 179 d) 181 e) 183

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninde köşegenler $E$ noktasında kesişmektedir. $|AD| = 6$, $|AE| = 3\sqrt{2}$, $|ED| = 3$, $m(\widehat{DAC}) = m(\widehat{BAC})$ ve $m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{ADB})$ ise, $|BC|$ nedir?

a) $2\sqrt{6}$ b) $5$ c) $3\sqrt{3}$ d) $2\sqrt{7}$ e) Hiçbiri

$p > 3$ bir asal sayı olmak üzere, $4p+91$ ve $12p+7$ sayıları da asal sayılar ise, aşağıdakilerden hangisi bir asal sayı olabilir?

a) $p^2+6$ b) $p^2-4$ c) $8p+1$ d) $2p+11$ e) $p+2$

$x, y, z \geq -2$ olmak üzere,

$$x^3+2 = 5y+z$$ $$y^3+2 = 2z+7x$$ $$z^3+2 = -2y-4x$$

denklem sistemini sağlayan kaç $(x,y,z)$ gerçel sayı üçlüsü vardır?

a) $0$ b) $1$ c) $2$ d) Sonsuz çoklukta e) Hiçbiri

Rakamları toplamı $9$ olan pozitif tam sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında baştan $2022.$ sayının birler basamağı kaçtır?

a) $1$ b) $2$ c) $6$ d) $7$ e) Hiçbiri

Bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ ve $[BC]$ kenarlarına sırasıyla $D$ ve $E$ noktalarında teğet olan bir çember $[AB]$ kenarını $F$ ve $G$ noktalarında kesmektedir. $F$ noktası $A$ ile $G$ arasında, $|AB| = 81$, $|BC| = 72$, $|AC| = 63$ ve $|CD| = 45$ ise, $|GB| - |AF|$ farkı nedir?

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

Ondalık yazılımı $9ABA9$ formunda olan ve 63 ile tam bölünen kaç farklı beş basamaklı pozitif tam sayı vardır?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 87$ ve $x_1 + 2x_2 + \cdots + nx_n = 51$ eşitliklerini sağlayan $x_1, x_2, \ldots, x_n$ gerçel sayıları bulunuyorsa, $n$ en az kaç olabilir?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Başlangıçta koordinat düzleminde $(1,1)$ noktası kırmızıya boyalıdır. Her adımda kırmızıya boyalı bir $(x,y)$ noktası için hem $(x+2, y+1)$ noktası hem de $(2x+y, 2x)$ noktası kırmızıya boyanıyor. Buna göre $(100,60)$, $(70,70)$, $(150,100)$ ve $(120,200)$ noktalarından kaç tanesi sonlu adım sonunda kırmızıya boyanmış olabilir?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

Bir $ABCD$ dikdörtgeninde $[BC]$ kenarının orta noktası $M$ olsun. $[AC]$ köşegeni üzerinde bir $E$ noktası, $[AE]$ üzerinde ise bir $F$ noktası alınıyor. $s(\widehat{DEC}) = s(\widehat{DFM}) = 90^\circ$, $|AF| = 4$ ve $|EC| = 18$ olduğuna göre $ABCD$ dikdörtgeninin alanı nedir?

a) 156 b) 192 c) 250 d) 312 e) 390

$p$ bir asal sayı olmak üzere, $p \mid a - b^2$, $p \mid b - a^2$ ve $p \nmid a - b$ olacak şekilde $a$ ve $b$ tam sayıları varsa, $p$ ye tuhaf asal sayı diyelim. 73, 79, 83, 89, 97 asal sayılarından kaç tanesi tuhaftır?

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

Her $x$ gerçel sayısı için $(x-27)P(3x) = (27x-27)P(x)$ koşulunu sağlayan ve sabit olmayan $P(x)$ polinomunun gerçel kökleri toplamı nedir?

a) 30 b) 33 c) 36 d) 39 e) 42

$5 \times 5$ bir satranç tahtasının her birim karesine bir sayı, her satırda ve her sütunda en fazla 3 farklı sayı olacak şekilde yazılmıştır. Buna göre, bu tahtanın tamamında en fazla kaç farklı sayı yer alabilir?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

Bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarı üzerinde alınan bir $D$ noktasından $[BC]$ kenarına inilen dikmenin ayağı $E$ noktasıdır. $|AD| = 1$, $|DC| = 2$ ve $2|AB|^2 + |BC|^2 = 18$ ise, $|AB| - |DE|$ farkının alabileceği en küçük değer nedir?

a) $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ b) $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ c) $\dfrac{1}{2}$ d) $\dfrac{1}{3}$ e) $1$

$x^3 - y^3 = 9^z + 60$ eşitliğini sağlayan kaç $(x, y, z)$ tam sayı üçlüsü vardır?

a) $12$ b) $8$ c) $6$ d) $4$ e) $2$

$x+y \neq 0$ koşulunu sağlayan $x$ ve $y$ gerçel sayıları için $4x(x+2y)+\left(\dfrac{1-y^2}{x+y}\right)^2$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) $-8$ b) $-6$ c) $-4$ d) $-2$ e) $0$

$11 \times 11$ satranç tahtasının birim karelerinden oluşan $n$ tane $2 \times 2$ karenin herhangi ikisinin en fazla bir ortak birim karesi varsa, $n$ en fazla kaç olabilir?

a) $44$ b) $46$ c) $48$ d) $50$ e) $52$

Bir $ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB| = |AC| = 3\sqrt{2}$ ve $|BC| = 2\sqrt{2}$ dir. $[BC]$ kenarının orta noktası $D$ ve $B$ noktasından $[AC]$ kenarına inilen dikmenin ayağı $E$ noktasıdır. Buna göre $D$ den geçen ve $AC$ doğrusuna $E$ noktasında teğet olan çemberin yarıçapı kaçtır?

a) $\dfrac{5}{4}$ b) $1$ c) $\dfrac{3}{4}$ d) $\dfrac{1}{2}$ e) $\dfrac{1}{4}$

$m$ ve $n$ pozitif tam sayılar ve $p$ bir asal sayı olmak üzere, $2m^2+3m-44 = 3p^n$ eşitliğini sağlayan kaç $(m, n, p)$ üçlüsü vardır?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) $5$

Bir $f : \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{R}^+$ fonksiyonu tüm $x$ ve $y$ pozitif rasyonel sayıları için

$$f(x) + f(y) - f(x+y) = \frac{x^2 + xy + y^2}{xy(x+y)}$$

eşitliğini sağlıyor. $f(x)$ fonksiyonunun aldığı en küçük değer $1$ ise, $f(1)$ nedir?

a) $1$ b) $\dfrac{5}{4}$ c) $\dfrac{4}{3}$ d) $\dfrac{3}{2}$ e) $2$

Aslı ve Zehra, başlangıçta boş olan $30 \times 30$ bir satranç tahtası üzerinde sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Oyuna Aslı başlıyor. Aslı her hamlesinde, kırmızı bir bilye içeren bir birim kareyle ortak bir kenarı bulunmayan boş bir birim kareye bir kırmızı bilye yerleştiriyor. Zehra ise her hamlesinde, boş bir birim kareye bir beyaz bilye yerleştiriyor. Oyunculardan herhangi biri hamle yapamazsa oyun sonlandırılıyor. Aslı her zaman en az $k$ tane kırmızı bilye yerleştirmeyi garantileyebiliyorsa, $k$ en fazla kaç olabilir?

a) $200$ b) $225$ c) $250$ d) $275$ e) Hiçbiri