TR-MO-R1 2020

$m(\widehat{ABC}) = 135^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $[OC]$ doğru parçası üzerindeki bir $D$ noktası için $m(\widehat{DBA}) = 90^\circ$ ve $m(\widehat{ADO}) = 70^\circ$ ise, $m(\widehat{BAC})$ nedir?

a) $20^\circ$ b) $25^\circ$ c) $30^\circ$ d) $35^\circ$ e) $40^\circ$

$2^{p-3} + 3^{p-3} + 4^{p-3}$ toplamının $p$ ile tam bölünmesini sağlayan $p$ tek asal sayılarının toplamı kaçtır?

a) 48 b) 56 c) 64 d) 72 e) 80

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere $(x+4)(x^2+16) = 11$ ise, $x^4 - 11x$ aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?

a) 175 b) 183 c) 196 d) 204 e) 212

Bir sincap 101 fındık içeren bir kesedeki fındıkların tümünü ya da bir kısmını üç gün içinde yiyecektir. Bu sincap, ikinci ve üçüncü günlerde eşit sayıda fındık ve her gün en az bir fındık yiyecek şekilde bu işlemi kaç farklı biçimde yapabilir?

a) 2350 b) 2460 c) 2476 d) 2500 e) 2692

Düzgün bir $ABCDEF$ altıgeninin $[DE]$ kenarı üzerinde bir $P$ noktası alınıyor. $\text{Alan}(PAB)=60$ ve $\text{Alan}(PBC)=44$ ise, $\text{Alan}(PAF)$ kaçtır?

a) $46$ b) $48$ c) $50$ d) $52$ e) $54$

$\sqrt{n+11}+\sqrt{n+\sqrt{n+11}}$ ifadesinin bir tam sayı olmasını sağlayan $n$ tam sayılarının toplamı kaçtır?

a) $71$ b) $92$ c) $113$ d) $134$ e) $155$

$a>0$ ve $b\neq c$ koşullarını sağlayan $a,b,c,d$ gerçel sayıları için $P_1(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ve $P_2(x)=ax^3+cx^2+bx+d$ polinomları tanımlanıyor. $P_1(x+1)-P_1(x)$ ve $P_2(x+1)-P_2(x)$ polinomlarının alabilecekleri en küçük değerler eşitse, $\dfrac{b+c}{a}$ aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?

a) $-3$ b) $-1$ c) $1$ d) $3$ e) Hiçbiri

$N$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $a_1,a_2,\dots,a_k$ pozitif tam sayıları $N=a_1+a_2+\cdots+a_k$ ve her $1\le i\le k$ için $a_i=a_{k+1-i}$ koşullarını sağlıyorsa, $(a_1,a_2,\dots,a_k)$ sıralı $k$-lisine $N$'nin bir simetrik dağılımı diyelim. Örneğin, $(5)$, $(2,1,2)$ ve $(1,1,1,1,1)$ sıralılarının her biri 5 in bir simetrik dağılımıdır. Buna göre 28 sayısının kaç farklı simetrik dağılımı vardır?

a) $12842$ b) $13174$ c) $14312$ d) $15968$ e) $16384$

Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde alınan bir $D$ noktası için $m(\widehat{BAD}) = 120^\circ$ ve $m(\widehat{CAD}) = 30^\circ$'dir. $|AD| = 6$ ve $|DC| = 21$ ise, $|AB|$ kaçtır?

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

$m, n$ ve $k$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $m$ sayısının $n$ ile bölümünden kalan $k$ dir. Ayrıca $m$ sayısı 28 ile bölündüğünde kalan 27, bölüm ise $n$ dir. Buna göre, $k$ nin alabileceği kaç farklı değer vardır?

a) 4 b) 7 c) 10 d) 14 e) 27

Negatif olmayan $a, b$ ve $c$ gerçel sayıları $a + b + c = 1$ eşitliğini sağlıyorsa,

$$\frac{1}{1+4a^2} + \frac{1}{1+4b^2} + \frac{1}{1+4c^2}$$

ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) 1 b) 2 c) $\dfrac{3}{2}$ d) $\dfrac{5}{2}$ e) $\dfrac{4}{3}$

Her pozitif tam sayı $k$ renkten birine, farkları veya oranları 2 olan herhangi iki sayı farklı renkte olacak şekilde boyanabiliyorsa, $k$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

Bir $ABC$ üçgeninin sırasıyla $[AB]$ ve $[AC]$ kenarları üzerinde alınan $K$ ve $L$ noktaları için $|AK| = 12$, $|BK| = 16$ ve $|CL| = 6$'dır. $[BC]$ kenarı üzerinde $D$ ve $E$ noktaları $E \in [DC]$ ve $|BD| = |DE| = |EC|$ olacak şekilde alınıyor. $m(\widehat{BKE}) = m(\widehat{CLD})$ ise, $|AL|$ kaçtır?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

Her $n \geq 1$ için $a_{n+1} = a_n^3 + 1799$ koşulunu sağlayan bir $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ pozitif tam sayı dizisinde en az iki tam kare bulunuyorsa, $a_{2020}$ sayısının 28 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisi olabilir?

a) 2 b) 6 c) 14 d) 22 e) Hiçbiri

$P(x)$ bir polinom olmak üzere, her $a$ gerçel sayısı için $P(a) = P(b)$ eşitliğini sağlayan $a$ dan farklı en az bir $b$ gerçel sayısı bulunuyorsa, $P(x)$ polinomuna çok tersli polinom diyelim. $P_1(x) = x^2 - 2020x$, $P_2(x) = x^3 - 2020x^2 + x$, $P_3(x) = x^4 - 2020x^2$ ve $P_4(x) = x^5 - 2020x^3$ polinomlarından kaç tanesi çok terslidir?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

6 farklı renkten 100 er top $n$ kutuya, aynı renkli herhangi iki top farklı kutularda yer alacak şekilde dağıtılmıştır. Herhangi iki kutu için bu 6 renkten öyle biri vardır ki bu iki kutunun hiçbirinde o renge boyalı top bulunmamaktadır. Buna göre $n$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

a) 180 b) 200 c) 220 d) 240 e) 260

$|AB| = 10$ ve $m(\widehat{BAC}) = 124^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde alınan bir $D$ noktası için $|AD| = 4$ ve $m(\widehat{BAD}) = 68^\circ$ dir. $[BD]$ doğru parçası üzerinde alınan bir $E$ noktası için $|BE|/|ED| = 5$ tir. $[AB]$ kenarının orta noktası $F$ olmak üzere, $CF$ doğrusu $AD$ ve $AE$ doğrularını sırasıyla $P$ ve $N$ noktalarında kestiğine göre, $APN$ üçgeninin alanının $DENP$ dörtgeninin alanına oranı kaçtır?

a) $\dfrac{2}{3}$ b) $\dfrac{4}{5}$ c) $\dfrac{7}{8}$ d) $\dfrac{10}{11}$ e) $\dfrac{16}{17}$

$n^4 + 2n^3 + 4n^2 + 4n - 62$ ifadesinin bir tam kare olmasını sağlayan $n$ tam sayılarının toplamı kaçtır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Bir $f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+ \cup \{0\}$ fonksiyonu $f(1) = f(2) = 0$ ve her $n$ pozitif tam sayısı için

$$f(3n) = f(n) + 1 \quad \text{ve} \quad f(3n+1) = f(3n+2) = f(n)$$

koşullarını sağlıyor. Buna göre $f\left(\dfrac{3^{2020}-1}{8}\right)$ kaçtır?

a) 504 b) 673 c) 1009 d) 2019 e) 3029

Bir satranç turnuvasına katılan üç arkadaş, turnuvadaki herkesin en fazla üç arkadaşı bulunduğunu ve arkadaş olmayan her iki kişinin ortak en az bir arkadaşı bulunduğunu farkediyor. Bu turnuvaya katılan kişi sayısı en fazla kaç olabilir?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) Hiçbiri

$|AB| = 25$ ve $|AC| = 40$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde alınan bir $D$ noktası için $|BD| = 15$ ve $|DC| = 24$ tür. Buna göre $ABD$ ve $ACD$ üçgenlerinin diklik merkezleri arasındaki uzaklık kaçtır?

a) $10$ b) $11$ c) $12$ d) $13$ e) $14$

$a_1 = 2$, $a_2 = 8$ ve her $n \geq 2$ için $a_{n+1} = 2a_n + 4n^2 a_{n-1}$ koşullarını sağlayan bir $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ pozitif tam sayı dizisi tanımlanıyor. $a_{2020}$ sayısını tam bölen en büyük asal sayı kaçtır?

a) $97$ b) $101$ c) $2011$ d) $2017$ e) $2027$

$L$ ve $U$ gerçel sayılar ve $L < U$ olmak üzere, her $L < a < U$ gerçel sayısı için $9x^4 - 6x^2 = a$ denkleminin dört farklı gerçel kökü bulunuyorsa, $U - L$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

a) $\dfrac{1}{3}$ b) $\dfrac{2}{3}$ c) $\dfrac{4}{3}$ d) $\dfrac{3}{2}$ e) Hiçbiri

Tek kişilik bir oyun oynayan Aslı, ilk hamlesinde boş bir tahtaya iki basamaklı bir pozitif tam sayı yazıyor. Aslı, bundan sonraki her hamlesinde, tahtada yazılı olan sayılardan birinin hem iki katını hem de üç katını tahtaya yazıyor. Bir kaç hamle sonucunda tahtadaki bütün sayıların toplamı 2018, 2020, 2022, 2024 sayılarından kaçına eşit olabilir?

a) $0$ b) $1$ c) $2$ d) $3$ e) $4$

$m(\widehat{BAC}) = 60^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde $m(\widehat{ADB}) < 90^\circ$ şartını sağlayan bir $D$ noktası alınıyor. $|AB| \cdot |AC| = 4$, $|BD| \cdot |CD| = 2$ ve $|AD| = \sqrt{2}$ ise, $m(\widehat{ADB})$ nedir?

a) $15^\circ$ b) $30^\circ$ c) $45^\circ$ d) $60^\circ$ e) $75^\circ$

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $a^3 - 1$ in $n$ ile tam bölündüğü her $a$ tam sayısı için $a^{2020} - 1$ de $n$ ile tam bölünüyorsa, $n$ ye tuhaf sayı diyelim. Aşağıdakilerden hangisi bir tuhaf sayıdır?

a) 61 b) 63 c) 65 d) 67 e) 69

$x^2 - x + 1 = y^3$ ve $y^2 - y = x^3$ eşitliklerinin her ikisini de sağlayan kaç farklı $(x, y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Her birinin uzunluğu 1 olan $n$ tane kapalı doğru parçasının bileşimi $[0, 28]$ doğru parçasına eşittir. Bu doğru parçalarının her birinde, diğer $n - 1$ doğru parçasının hiçbirinde bulunmayan en az bir nokta varsa, $n$ en fazla kaç olabilir?

a) 28 b) 34 c) 41 d) 48 e) 54

Uzayda bir $D$ düzlemi üzerinde çakışık veya doğrusal olmayan $A, B$ ve $C$ noktaları alınıyor. Bu üç noktadan geçen $O$ merkezli bir küre üzerindeki $P$ ve $Q$ noktaları için $|PA| = |PB| = |PC| = 30$ ve $|QA| = |QB| = |QC| = 40$ ise, $O$ noktasının $D$ düzlemine uzaklığı kaçtır?

a) $6$ b) $7$ c) $8$ d) $9$ e) $10$

Pozitif bölenleri toplamı $8$ ile tam bölünmeyen bir pozitif tam sayıya özel sayı diyelim. Her biri özel sayı olan en fazla kaç ardışık pozitif tam sayı vardır?

a) $6$ b) $7$ c) $8$ d) $9$ e) $10$

$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere $x^2 - 2y^2 = \dfrac{3}{8}$ ise, $x^4 - y$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) $-\dfrac{1}{4}$ b) $-\dfrac{1}{8}$ c) $0$ d) $\dfrac{1}{8}$ e) $\dfrac{1}{4}$

$12 \times 12$ bir satranç tahtasının $71$ birim karesi işaretlenecektir. Bu işlem, ortak bir kenar paylaşan işaretli iki birim kare bulunmayacak şekilde kaç farklı biçimde yapılabilir?

a) $132$ b) $136$ c) $140$ d) $144$ e) $148$