TR-MO-R1 2020 Problem 8

$N$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $a_1,a_2,\dots,a_k$ pozitif tam sayıları $N=a_1+a_2+\cdots+a_k$ ve her $1\le i\le k$ için $a_i=a_{k+1-i}$ koşullarını sağlıyorsa, $(a_1,a_2,\dots,a_k)$ sıralı $k$-lisine $N$'nin bir simetrik dağılımı diyelim. Örneğin, $(5)$, $(2,1,2)$ ve $(1,1,1,1,1)$ sıralılarının her biri 5 in bir simetrik dağılımıdır. Buna göre 28 sayısının kaç farklı simetrik dağılımı vardır?

a) $12842$ b) $13174$ c) $14312$ d) $15968$ e) $16384$