TR-MO-R1 2016

$AB \parallel CD$ ve $|AB| > |CD|$ olan bir $ABCD$ yamuğunda $AC$ ve $BD$ köşegenlerinin kesişim noktası $E$ dir. $DEC$ üçgeninin çevrel çemberine $E$ noktasında teğet olan doğru $[AB$ ışınını $F$ noktasında kesiyor. $|AF| = 9$, $|AB| = 5$ ise $|EF|$ kaçtır?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

$n^2 + mn + 14 = 7n + 3m$ denklemini sağlayan kaç farklı $(m, n)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Hiçbiri

$abc = 2$ koşulunu sağlayan $a, b, c$ pozitif gerçel sayıları için $a^2 + 2b^2 + 4c^2 - 6b$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) Hiçbiri

$24 \times 24$ satranç tahtasının bazı birim karelerine birer taş nasıl yerleştirilirse yerleştirilsin, her taşı $k$ renkten birine, aynı satır veya aynı sütun üzerinde olup aralarında başka taş bulunmayan herhangi iki taşın rengi farklı olacak şekilde boyayabiliyorsak, $k$ nın alabileceği en küçük değer nedir?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC}) = 45^\circ$ ve $[AC]$ üzerinde alınan bir $D$ noktası için $m(\widehat{DBC}) = 90^\circ$ dir. $\dfrac{|CD|}{|AB|} = 2\sqrt{2}$ ise $m(\widehat{BDC})$ nedir?

a) $52.5^\circ$ b) $60^\circ$ c) $67.5^\circ$ d) $75^\circ$ e) $90^\circ$

$n$ bir pozitif tam sayı ve $a_1, a_2, \ldots, a_n$ birer tam sayı olmak üzere her $i = 1, 2, \ldots, n$ için $b_i = a_i^2$ olarak tanımlanıyor. Hiçbir $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ tam sayı n-lisi için $2^{b_1} + 2^{b_2} + \cdots + 2^{b_n} - n^2$ ifadesi 7 ile tam bölünmüyorsa $n$ kaç farklı değer alabilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Sonsuz çoklukta

Bir $f : \mathbf{R} \setminus \left\{ -\dfrac{2}{7}, \dfrac{1}{7} \right\} \to \mathbf{R}$ fonksiyonu, tanım kümesinde bulunan her $x$ için

$$f(x) + f\left( \frac{x-1}{7x+2} \right) = x$$

eşitliğini sağlıyorsa $f(1)$ aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?

a) $\dfrac{1}{7}$ b) $\dfrac{1}{4}$ c) $\dfrac{2}{7}$ d) $\dfrac{1}{2}$ e) Hiçbiri

Başlangıçta masa üzerinde her biri 51 gram süt içeren birkaç bardak bulunuyor. Bir kedi her işlemde önce masadaki her bardaktan 3 gram süt içiyor, daha sonra bir bardak alıp bu bardaktaki sütü diğer bardaklara eşit olarak dağıtıyor ve boş bardağı masadan atıyor. Birkaç işlem sonucunda masada tek bir bardak kalıyor. Bu son bardakta yine 51 gram süt bulunuyorsa kedi toplamda kaç gram süt içmiştir?

a) 1530 b) 1581 c) 1632 d) 1683 e) 1734

Bir $ABC$ üçgeninde iç teğet çember $BC, CA, AB$ kenarlarına sırasıyla $D, E, F$ noktalarında teğettir. $EF$ doğrusu $[CB$ ışınını $P$ noktasında kesiyor. Buna göre $|BD| = 1$, $|CD| = 3$, $|PF| = \sqrt{5}$ ise $|CA|$ uzunluğu kaçtır?

a) $4$ b) $2\sqrt{5}$ c) $5$ d) $4\sqrt{2}$ e) $6$

$p \in \{7, 11, 13, 17, 19\}$ olmak üzere kaç farklı $p$ asal sayısı için $a^2 + b + 1$ ve $b^2 + a + 1$ sayılarının her ikisi de $p$ ile tam bölünecek biçimde $a$ ve $b$ tam sayıları bulunabilir?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) $5$

$$\begin{aligned} (x+2y)(y+2z)(z+2x) &= 1 \\ (2x+y)(2y+z)(2z+x) &= 2 \\ (x+y)(y+z)(z+x) &= 3 \end{aligned}$$

denklem sistemini sağlayan $x, y, z$ gerçel sayıları için $xyz$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?

a) $-\dfrac{1}{2}$ b) $-\dfrac{5}{2}$ c) $\dfrac{1}{4}$ d) $\dfrac{5}{4}$ e) Hiçbiri

İki basamaklı sayılardan oluşan her $\{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ kümesinin herhangi ikisinin her iki basamağı birbirinden farklı olan 5 elemanı bulunuyorsa, $n$ en az kaç olabilir?

a) $38$ b) $41$ c) $45$ d) $51$ e) Hiçbiri

Bir $ABC$ üçgeninin $BC$ kenarına ait dış teğet çemberinin merkezi $O$ olsun. $O$ dan geçen bir doğru $AB$ ve $AC$ doğrularını sırasıyla $D$ ve $E$ de kesiyor. $|AD| > |AB|$, $|AE| > |AC|$, $|AD| = |AE|$, $|BD| = 9$, $|OD| = 8$, $|OC| = 4$ ise $|OB|$ kaçtır?

a) $4$ b) $\dfrac{9}{2}$ c) $5$ d) $\dfrac{11}{2}$ e) $6$

$3, 5, 7, 11, 13$ sayılarından kaç tanesi $(n+3)(n+7)(n+11)(n+15)+257$ ifadesini hiçbir $n$ tam sayısı için tam bölemez?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) $5$

$1 \le |a|, |b|, |c| \le 10$, $a \neq c$ ve $b^2 \ge 4ac$ koşullarını sağlayan $a, b, c$ tam sayıları için $ax^2+bx+c=0$ denkleminin en küçük kökü ile $cx^2+bx+a=0$ denkleminin en büyük kökü birbirine eşitse $(a,b,c)$ üçlüsüne karesel üçlü diyelim. Kaç farklı karesel üçlü vardır?

a) $20$ b) $40$ c) $50$ d) $60$ e) $80$

$1, 2, \ldots, 2016$ sayılarının her biri $k$ renkten birine, $a \mid b$ ve $b \mid c$ koşullarını sağlayan herhangi üç farklı $a, b$ ve $c$ sayıları aynı renkte olmayacak şekilde boyanabiliyorsa, $k$ en az kaç olabilir?

a) $4$ b) $5$ c) $6$ d) $7$ e) $8$

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $AD$ kenarortayı, $BE$ yüksekliği ve $CF$ iç açıortayı noktadaştır. $|BC| = 10$, $|CA| = 6$ ise $|AB|$ kaçtır?

a) $4\sqrt{5}$ b) $9$ c) $\sqrt{85}$ d) $3\sqrt{10}$ e) $\sqrt{91}$

$n$ bir pozitif tam sayı, $p$ bir asal sayı, $d_1$ ve $d_2$ ise $n$ sayısının birbirinden farklı iki pozitif tam böleni olmak üzere $n = p(d_1 + d_2)$ biçiminde yazılabiliyorsa $n$ sayısına dengeli sayı diyelim. 100 den küçük kaç dengeli sayı vardır?

a) $11$ b) $17$ c) $24$ d) $30$ e) Hiçbiri

Gerçel katsayılı bir $P$ polinomu $P(1) = 1$ ve her $x, y$ gerçel sayıları için $P(x) + P(y) = P(x + y) - 2xy + 1$ koşullarını sağlıyor. Buna göre $P(x)$ in alabileceği en küçük değer nedir?

a) $\dfrac{1}{4}$ b) $\dfrac{1}{3}$ c) $\dfrac{1}{2}$ d) $\dfrac{2}{3}$ e) $\dfrac{3}{4}$

Kaç $n \in \{12, 18, 42, 60, 72\}$ değeri için $1, 2, \ldots, n$ sayıları herhangi iki komşu sayının toplamı asal sayı olacak şekilde sıraya dizilebilir?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) $5$

$|AB|=13$, $|BC|=4$, $|CA|=15$ olan bir $ABC$ üçgeninde iç teğet çemberin merkezi $I$ ve $BC$ kenarının orta noktası $M$ dir. $IM$ doğrusu $BC$ kenarına ait yüksekliği $K$ de kesiyor. Buna göre $|AK|$ kaçtır?

a) $\dfrac{3}{2}$ b) $2$ c) $\dfrac{5}{2}$ d) $3$ e) $\dfrac{7}{2}$

Pozitif tam sayılardan oluşan bir $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ dizisinin terimleri her $n \geq 1$ için $a_{n+1} = a_n^3 + 1376$ eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre bu dizinin terimleri arasında en fazla kaç tane tam kare olabilir?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) Sonsuz çoklukta e) Hiçbiri

Tüm terimleri birbirinden ve sıfırdan farklı bir $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ gerçel sayı dizisi $a_0 = \sqrt{2}$ ve her $n \geq 1$ için $a_n a_{n+1} + \dfrac{4}{a_n a_{n-1}} = 2\left(1 + \dfrac{a_{n+1}}{a_{n-1}}\right)$ koşulunu sağlıyor. Buna göre $a_1 \cdot a_2 \cdots a_{2016}$ çarpımının alabileceği kaç farklı değer vardır?

a) $1$ b) $2$ c) $4$ d) Sonsuz çoklukta e) Hiçbiri

Elimizde $12$ kırmızı ve $12$ beyaz top bulunuyor. Bir doğru üzerindeki $6$ boş kutunun her birine bu toplardan $2$ tanesi, herhangi iki komşu kutuda aynı renkli top bulunması koşuluyla kaç farklı biçimde dağıtılabilir?

a) $204$ b) $216$ c) $228$ d) $239$ e) $251$

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $BC$ kenarına ait yükseklik $C$ den geçen ve $AB$ doğrusuna $A$ da teğet olan çemberi ikinci kez $K$ de kesiyor. Benzer şekilde $AC$ kenarına ait yükseklik $C$ den geçen ve $AB$ doğrusuna $B$ de teğet olan çemberi ikinci kez $L$ de kesiyor. $|CK| = 12$, $|KL| = 9$ ise $|CL|$ uzunluğunun alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

a) $12$ b) $15$ c) $18$ d) $21$ e) $24$

$\dbinom{3n}{n}$ ifadesinin 2016 ile tam bölünmesini sağlayan en küçük $n$ pozitif tam sayısı kaçtır?

a) $11$ b) $23$ c) $31$ d) $43$ e) Hiçbiri

$P(x) = (x^3 + x + 1)(x^3 - 3x^2 + 4x - 3)$ polinomunun gerçel köklerinin toplamı kaçtır?

a) $-1$ b) $0$ c) $1$ d) $2$ e) $3$

Bir torbada başlangıçta 2016 adet eşit uzunluklu çubuk bulunuyor. Her işlemde bir çubuk seçilip iki eşit parçaya bölünüyor. İşlemler nasıl yapılırsa yapılsın torbada her zaman en az $n$ tane eşit uzunluklu çubuk bulunuyorsa, $n$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

a) $2$ b) $505$ c) $756$ d) $1009$ e) $1511$

$m(\widehat{ABD}) = 45^\circ$ koşulunu sağlayan bir $ABCD$ kirişler dörtgeninde $CD$ doğrusu $[BA$ ışınını $E$ de kesiyor. $|AB| + |BD| = |AE|$ ve $|ED| = 2|AC|$ ise $m(\widehat{DEB})$ nedir?

a) $15^\circ$ b) $22.5^\circ$ c) $30^\circ$ d) $37.5^\circ$ e) $45^\circ$

$23, 29, 31, 37, 41$ sayılarından kaç tanesi en az bir $(m, n)$ pozitif tam sayı ikilisi için $m^7 - n^7 - 3$ sayısını tam böler?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 1$ koşulunu sağlayan $a, b, c$ pozitif gerçel sayıları için $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2$ ifadesi $2016^{-2}, 2016^{-1}, 1, 2016$ sayılarından kaç tanesine eşit olabilir?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

Aslı ve Berk başlangıçta birkaç sayı yazılmış tahtada sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Sırası gelen oyuncu tahtadaki bir sayıyı siliyor veya tahtadaki bir sayıyı silip yerine o sayının bir fazlasını, tahtadaki tüm sayıların birbirinden farklı olması ve hiçbirinin 24 ü aşmaması koşuluyla yazıyor. Oyunu son hamleyi yapan oyuncu kazanıyor. Oyuna her seferinde Aslı başlamak üzere, oyun tahtadaki sayılar $\{2, 3, 22, 23\}$, $\{1, 2, 3, 21, 22, 23\}$, $\{1, 7, 12, 13, 19, 24\}$, $\{5, 6, 11, 17, 18\}$ ve $\{10, 11, 12, 13, 14\}$ olarak birer kez oynanırsa, Aslı bu oyunların kaçını kazanmayı garantileyebilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5