TR-MO-R1 2014

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninde $m(\widehat{DAB}) = m(\widehat{CBD}) = 120°$, $|AB| = 2$, $|AD| = 4$ ve $|BC| = |BD|$ dir. $C$ noktasından geçen ve $AB$ ye paralel olan doğru $AD$ doğrusunu $E$ noktasında kesiyor ise, $|CE|$ nedir?

a) $8$ b) $7$ c) $6$ d) $5$ e) Hiçbiri

$mn + n + 14 = (m-1)^2$ eşitliğini sağlayan kaç $(m, n)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) $16$ b) $12$ c) $8$ d) $6$ e) $2$

Kaç $n$ tam sayısı için, $|x^2 - 4x - 7| = n$ eşitliğini sağlayan dört farklı $x$ gerçel sayısı vardır?

a) $12$ b) $10$ c) $8$ d) $7$ e) $5$

3 kırmızı, 2 beyaz ve 2 mavi top rastgele sıraya dizildiğinde iki beyaz topun veya iki mavi topun yan yana gelme olasılığı nedir?

a) $\dfrac{2}{5}$ b) $\dfrac{3}{7}$ c) $\dfrac{16}{35}$ d) $\dfrac{10}{21}$ e) $\dfrac{5}{14}$

$D$, $|AB| = |AC|$ olan bir $ABC$ ikizkenar üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde $|BD| = 6$ ve $|DC| = 10$ koşullarını sağlayan bir nokta olmak üzere, $ABD$ ve $ADC$ üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin $[AD]$ kenarına değme noktaları sırasıyla, $E$ ve $F$ ise, $|EF|$ nedir?

a) $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ b) $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ c) $1$ d) $\dfrac{9}{8}$ e) $2$

Ondalık yazılımında tüm rakamları çift olan pozitif tam sayılar artan sırayla

$$2, 4, 6, 8, 20, 22, 24, 26, 28, 40, 42, \ldots$$

biçiminde yazıldığında 2014. sayı nedir?

a) 66480 b) 64096 c) 62048 d) 60288 e) Hiçbiri

$x$ ve $y$ gerçel sayıları için $(x^2+1)(y^2+1)+9 = 6(x+y)$ ise, $x^2+y^2$ nedir?

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

17 özdeş kırmızı ve 10 özdeş beyaz top 4 farklı kutuya, her kutudaki kırmızı topların sayısı beyaz topların sayısından daha fazla olacak biçimde kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

a) 5462 b) 5586 c) 5664 d) 5720 e)5848

$D$, bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde $|AB| = 3$, $|CD| = 1$ ve $|AC| = |BD| = \sqrt{5}$ koşullarını sağlayan bir nokta olmak üzere; $B$ köşesine ait yükseklik $AD$ doğrusunu $E$ noktasında kesiyor ise, $|CE|$ nedir?

a) $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ b) $1$ c) $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ d) $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ e) $\dfrac{3}{2}$

$m^3 - n^3 = 9^k + 123$ eşitliğini sağlayan kaç $(m, n, k)$ negatif olmayan tam sayı üçlüsü vardır?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) Hiçbiri

Sadece bir $x$ gerçel sayısı için $x^2 + ax + 1$ ifadesinin negatif bir tam sayı değer almasını sağlayan $a$ gerçel sayılarının çarpımı nedir?

a) $-1$ b) $-2$ c) $-4$ d) $-6$ e) $-8$

21 öğrenciden oluşan ve herhangi üç öğrencisinin en az ikisi arkadaş olan her sınıfta en az $k$ arkadaşı olan bir öğrenci bulunuyorsa, $k$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

a) $8$ b) $9$ c) $10$ d) $11$ e) $12$

$m(\widehat{ADB}) = 15^\circ$ ve $m(\widehat{BCD}) = 90^\circ$ olan dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninin köşegenleri $E$ noktasında dik olarak kesişiyor. $P$, $[AE]$ üstünde bir nokta olmak üzere, $|EC| = 4$, $|EA| = 8$ ve $|EP| = 2$ ise, $m(\widehat{PBD})$ nedir?

a) $15^\circ$ b) $30^\circ$ c) $45^\circ$ d) $60^\circ$ e) $75^\circ$

Kaç farklı $p$ asal sayısı için, $p \mid n^3 + 3$ ve $p \mid n^5 + 5$ olacak biçimde bir $n$ tam sayısı bulunur?

a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) Sonsuz çoklukta

$(2x^2+5x+9)^2 = 56(x^3+1)$ eşitliğini sağlayan farklı $x$ gerçel sayılarının toplamı nedir?

a) 3 b) $\dfrac{7}{2}$ c) 4 d) $\dfrac{9}{2}$ e) Hiçbiri

Aslı 100 şekeri kardeşi ve kardeşinin 18 arkadaşı arasında dağıtacaktır. Bunun için, kardeşinin arkadaşlarını bir kaç gruba ayırıyor ve 100 şekeri bu gruplara dağıtıyor. Sonra her gruptaki çocuklar, kendilerine verilen şekerleri aralarında her biri eşit ve olabildiğince çok sayıda şeker alacak biçimde paylaşıp, kalan şekerleri de Aslı'nın kardeşine veriyorlar. Aslı'nın kardeşi en çok kaç şeker alabilir?

a) 12 b) 14 c) 16 d) 17 e) 18

Bir $ABCD$ karesinde $[AB]$ kenarının orta noktası $E$ ve $B$ noktasından geçen $A$ merkezli çemberin $[EC]$ doğru parçası ile kesişim noktası $F$ ise, $|EF|/|FC|$ nedir?

a) $2$ b) $\dfrac{3}{2}$ c) $\sqrt{5}-1$ d) $3$ e) $\sqrt{3}$

Aşağıdaki sayılardan hangisi $x$ ve $y$ tam sayılar olmak üzere, $x^2+y^5$ biçiminde yazılamaz?

a) $59170$ b) $59149$ c) $59130$ d) $59121$ e) $59012$

$x$ pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, $\dfrac{x^2+2x+6}{x^2+x+5}$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

a) $\dfrac{14}{11}$ b) $\dfrac{9}{7}$ c) $\dfrac{13}{10}$ d) $\dfrac{4}{3}$ e) Hiçbiri

Her biri $2$ nin veya $3$ ün tam sayı kuvveti olan tam sayılardan oluşan ve tüm elemanlarının toplamı $2014$ olan kaç farklı küme vardır?

a) $64$ b) $60$ c) $54$ d) $48$ e) Hiçbiri

$[AB]$ ve $[CD]$ kenarlarının $[BC]$ kenarına dik olduğu bir $ABCD$ yamuğunun $[BC]$ kenarı üstündeki bir $E$ noktası için $AED$ bir eşkenar üçgendir. $|AB| = 7$ ve $|CD| = 5$ ise, $ABCD$ yamuğunun alanı nedir?

a) $27\sqrt{3}$ b) $42$ c) $24\sqrt{3}$ d) $40$ e) $36$

$2014^{2015}$ sayısının $121$ ile bölümünden kalan kaçtır?

a) $45$ b) $34$ c) $23$ d) $12$ e) $1$

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere,

$$(x^2 + 2x + 8 - 4\sqrt{3}) \cdot (x^2 - 6x + 16 - 4\sqrt{3})$$

ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) $112 - 64\sqrt{3}$ b) $3 - \sqrt{3}$ c) $8 - 4\sqrt{3}$ d) $3\sqrt{3} - 4$ e) Hiçbiri

$1, 2, \ldots, n$ tam sayıları, ikisi de içerdiği herhangi farklı iki sayının aritmetik ortalamasını içermeyecek biçimde iki kümeye ayrılabiliyorsa, $n$ en çok kaç olabilir?

a) $7$ b) $8$ c) $9$ d) $10$ e) Hiçbiri

Birbirine $A$ noktasında dıştan teğet olan $C_1$ ve $C_2$ çemberlerinin yarıçapları sırası ile 6 ve 8 birimdir. $C_1$ ve $C_2$ çemberlerine dıştan teğet olan $C_3$ çemberinin yarıçapı ise 21 birimdir. $C_1$ ve $C_2$ çemberlerinin $A$ noktasından geçen ortak teğet doğrusu $C_3$ çemberini $B$ ve $C$ noktalarında kesiyor ise, $|BC|$ kaçtır?

a) $24$ b) $25$ c) $14\sqrt{3}$ d) $24\sqrt{3}$ e) $25\sqrt{3}$

$n^4+1$ sayısını bölen en küçük asal sayı $f(n)$ olmak üzere, $f(1)+f(2)+\cdots+f(2014)$ toplamının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?

a) $1$ b) $3$ c) $5$ d) $7$ e) Hiçbiri

Pozitif tam sayılarda tanımlı bir $f$ fonksiyonu, $f(1)=4$ ve her $n$ pozitif tam sayısı için $f(2n)=f(n)$ ve $f(2n+1)=f(n)+2$ koşullarını sağlamaktadır. 2014 ten küçük kaç $k$ pozitif tam sayısı için $f(k)=8$ dir?

a) $45$ b) $120$ c) $165$ d) $180$ e) $215$

Başlangıçta tahtaya $-1,\ 2,\ -3,\ 4,\ -5,\ 6$ sayıları yazılıdır. Her işlemde tahtaya yazılı olan herhangi $a$ ve $b$ sayılarını silip yerine $2a+b$ ve $2b+a$ sayılarını yazarsak $(0,0,0,3,-9,9)$, $(0,1,1,3,6,-6)$, $(0,0,0,3,-6,9)$, $(0,1,1,-3,6,-9)$, $(0,0,2,5,5,6)$ altılılarından kaç tanesini elde edebiliriz?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) $5$

$|AB| = 13$, $|BC| = 12$ ve $|CA| = 5$ olan bir $ABC$ üçgeninin $A$ ve $B$ köşelerine ait iç açıortaylar $I$ noktasında kesişiyor ve karşı kenarları da sırasıyla, $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $[DE]$ nin orta noktasından ve $I$ dan geçen doğru $[AB]$ yi $F$ noktasında kesiyor ise, $|AF|$ nedir?

a) $\dfrac{3}{2}$ b) $2$ c) $\dfrac{5}{2}$ d) $3$ e) $\dfrac{7}{2}$

Bir $n$ pozitif tam sayısı için, $s(n)$ ile $n$ sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını göstermek üzere; $2014^{2014}$ sayısını bölen tüm $k$ pozitif tam sayıları için $\big(s(k)\big)^3$ sayılarının toplamının en büyük asal böleni nedir?

a) $5$ b) $7$ c) $11$ d) $13$ e) Hiçbiri

$a_1 = 1$ ve her $n \geq 1$ için,

$$(a_{n+1} - 2a_n) \cdot \left(a_{n+1} - \frac{1}{a_n + 2}\right) = 0$$

olmak üzere, $a_k = 1$ ise, $k$ aşağıdakilerden hangisi olabilir?

a) $6$ b) $8$ c) $10$ d) $12$ e) Hiçbiri

Başlangıçta masada $k$ tane taş bulunuyor. Alper, Betül ve Ceyhun sırayla hamle yapıyorlar ve sırası gelen oyuncu masadan bir veya iki taş alıyor. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor ve oyun sona eriyor. Oyuna her seferinde Alper başlamak üzere, oyun $k = 5, 6, 7, 8, 9$ değerleri için birer kez oynanırsa, Alper bunlardan kaçını kaybetmemeyi garantileyebilir?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) $5$