TR-MO-R1 2012

Yüksekliklerinin uzunlukları 3, 4 ve 6 birim olan bir üçgeninin çevre uzunluğu kaç birimdir?

a) $12\sqrt{\dfrac{3}{5}}$ b) $16\sqrt{\dfrac{3}{5}}$ c) $20\sqrt{\dfrac{3}{5}}$ d) $24\sqrt{\dfrac{3}{5}}$ e) Hiçbiri

$m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $2012^n + m^2$ sayısının 11 ile bölümünden kalan farklı sayıların toplamı nedir?

a) 55 b) 46 c) 43 d) 39 e) 37

Aşağıdaki $x$ değerlerinden hangisi $\sqrt[3]{6+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{x}} = \sqrt[3]{3}$ eşitliğini sağlar?

a) 27 b) 32 c) 45 d) 52 e) 63

$A = \{1,2,3,4,5,6,7\}$ kümesinin tüm $a$ elemanları için $f(f(a)) = a$ koşulunu sağlayan kaç $f : A \to A$ fonksiyonu vardır?

a) 1 b) 106 c) 127 d) 232 e) Hiçbiri

$|AB| = 7$, $|BC| = 12$ ve $|CA| = 13$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde yer alan $D$ noktası $|BD| = 5$ koşulunu sağlıyor. $r_1$ ve $r_2$ sırasıyla, $ABD$ ve $ACD$ üçgenlerinin içteğet çemberlerinin yarıçapları ise, $r_1/r_2$ nedir?

a) $1$ b) $\dfrac{13}{12}$ c) $\dfrac{7}{5}$ d) $\dfrac{3}{2}$ e) Hiçbiri

$n$ nin aşağıdaki değerlerinden hangisi $n^{29} \equiv 7 \pmod{65}$ denkliğini sağlar?

a) $37$ b) $39$ c) $43$ d) $46$ e) $55$

Tüm $x$, $y$, $z$ gerçel sayıları için $f(x)f(y)f(z) = 12f(xyz) - 16xyz$ koşulunu sağlayan kaç $f : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ fonksiyonu vardır?

a) $3$ b) $2$ c) $1$ d) $0$ e) Hiçbiri

$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ kümesinin birbirinden farklı ve biri diğerini içeren iki alt kümesi kaç farklı biçimde seçilebilir?

a) $2059$ b) $2124$ c) $2187$ d) $2315$ e) $2316$

$[AB]$ çaplı çemberin $[CD]$ kirişi $[AB]$ ye diktir. $M$ ve $N$ sırasıyla, $[BC]$ ve $[AD]$ nin orta noktaları olmak üzere, $|BC| = 6$ ve $|AD| = 2\sqrt{3}$ ise, $|MN|$ nedir?

a) $4$ b) $3\sqrt{2}$ c) $\sqrt{21}$ d) $5$ e) Hiçbiri

$n$ den küçük ve $n$ ile aralarında asal olan tam olarak $20$ tane pozitif tam sayı bulunmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) Hiçbiri

$x^3 + 2 = 3y,\ y^3 + 2 = 3z,\ z^3 + 2 = 3w,\ w^3 + 2 = 3x$ eşitliklerini sağlayan kaç $(x, y, z, w)$ gerçel sayı dörtlüsü vardır?

a) $8$ b) $5$ c) $3$ d) $1$ e) Hiçbiri

$\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ kümesinin dört tane ardışık tam sayı içermeyen kaç altkümesi vardır?

a) $596$ b) $648$ c) $679$ d) $773$ e) $812$

Köşeleri, düzlemdeki herhangi üçü doğrudaş olmayan 20 noktadan oluşan bir kümeye ait olan en çok kaç geniş açılı üçgen bulunabilir?

a) $6$ b) $20$ c) $2\binom{10}{3}$ d) $3\binom{10}{3}$ e) $\binom{20}{3}$

$n$ pozitif tam sayı olmak üzere, $(2n-1)^{502}+(2n+1)^{502}+(2n+3)^{502}$ sayısının 2012 ile bölümünden kalan farklı sayıların toplamı nedir?

a) $3$ b) $1510$ c) $1511$ d) $1514$ e) Hiçbiri

$a$ gerçel sayısının, $x^4+8x^3+18x^2+8x+a=0$ denkleminin dört farklı gerçel kökü olmasını sağlayan tüm değerlerinin kümesi nedir?

a) $(-9,2)$ b) $(-9,0)$ c) $[-9,0)$ d) $[-8,1)$ e) $(-8,1)$

$8\times 8$ bir satranç tahtasının her birim karesine $1$ ve $-1$ sayılarından biri yazılmıştır. En az dört satırın her birindeki sayıların toplamı pozitif ise, üzerlerindeki sayıların toplamı $-3$ ten küçük olan en çok kaç sütun olabilir?

a) $6$ b) $5$ c) $4$ d) $3$ e) $2$

Bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde yer alan bir $D$ noktası için, $m(\widehat{BAD}) = 20^\circ$, $m(\widehat{DAC}) = 80^\circ$, $m(\widehat{ACD}) = 20^\circ$ ve $m(\widehat{DCB}) = 20^\circ$ ise, $m(\widehat{ABD})$ nedir?

a) $5^\circ$ b) $10^\circ$ c) $15^\circ$ d) $20^\circ$ e) $25^\circ$

Farklı asal sayıların kuvvetlerinin çarpımı olarak yazılımında sıfırdan farklı tüm kuvvetlerin tek sayılar olduğu bir pozitif tam sayıya tekil sayı diyelim. En çok kaç ardışık tekil sayı vardır?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) Hiçbiri

$x^4 - 7x^3 + 14x^2 - 14x + 4 = 0$ denkleminin gerçel köklerinin toplamı nedir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$ sayılarının her $(a_1, a_2, \dots, a_{11})$ permütasyonu için, $(a_1+a_3, a_2+a_4, a_3+a_5, \dots, a_8+a_{10}, a_9+a_{11})$ verildiğinde $a_i$ lerden en az $k$ tanesini belirleyebiliyorsak, $k$ en çok kaç olabilir?

a) 11 b) 6 c) 5 d) 2 e) Hiçbiri

$|AB|=5$, $|BC|=6$ ve $|CA|=7$ olan bir $ABC$ üçgeninin $A$ köşesine ait açıortayı $[BC]$ kenarını $D$ noktasında kesiyor. $A$ dan geçen ve $BC$ ye $D$ de teğet olan çember ise, $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarını sırasıyla, $P$ ve $Q$ noktalarında kesiyor. $AD$ ve $PQ$ doğruları $T$ noktasında kesişiyorsa, $|AT|/|TD|$ nedir?

a) $\dfrac{7}{5}$ b) $2$ c) $3$ d) $\dfrac{7}{2}$ e) $4$

$4mn(m+n-1)=(m^2+1)(n^2+1)$ eşitliğini sağlayan kaç $(m,n)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) $5$ b) $4$ c) $3$ d) $2$ e) $1$

$a$, $b$, $c$ gerçel sayıları $x^3-3x+1=0$ denkleminin farklı kökleri ise, $a^8+b^8+c^8$ nedir?

a) $156$ b) $171$ c) $180$ d) $186$ e) $201$

Bir yüzleri siyah ve diğer yüzleri beyaz olan $2012$ tane tavla pulu bir doğru boyunca ve üste gelen yüzleri dönüşümlü olarak siyah ve beyaz olacak biçimde dizilmiştir. Her hamlede iki pul seçip bunları ve bu pulların arasında kalan tüm pulları ters çeviriyoruz. Bütün pulların üste gelen yüzlerinin aynı renkte olmasını en az kaç hamlede sağlayabiliriz?

a) $1006$ b) $1204$ c) $1340$ d) $2011$ e) Hiçbiri

Bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarının $M$ orta noktası, $B$ köşesine ait yüksekliğinin $H$ ayağı ile $C$ köşesi arasındadır. $m(\widehat{ABH}) = m(\widehat{MBC})$, $m(\widehat{ACB}) = 15^\circ$ ve $|HM| = 2\sqrt{3}$ ise, $|AC|$ nedir?

a) $6$ b) $5\sqrt{2}$ c) $8$ d) $\dfrac{16}{\sqrt{3}}$ e) $10$

$100$ den küçük kaç asal sayı ardışık pozitif tam sayıların karelerinin toplamı olarak yazılabilir?

a) $3$ b) $4$ c) $5$ d) $6$ e) $7$

Tüm $x$ gerçel sayıları için, $\sin x \cos x \leq C\,(\sin^6 x + \cos^6 x)$ olmasını sağlayan en küçük $C$ gerçel sayısı nedir?

a) $\sqrt{3}$ b) $2\sqrt{2}$ c) $\sqrt{2}$ d) $2$ e) Hiçbiri

Başlangıçta üç kutuda sırasıyla, $m$, $n$ ve $k$ tane taş bulunuyor. Ayşe ve Burak sırayla hamle yapıyorlar ve sırası gelen oyuncu istediği bir kutudan en az bir tane olmak üzere, istediği sayıda taş alıyor. Son taşı alan oyuncu oyunu kazanıyor. Oyuna her sefer Ayşe başlamak üzere, oyun $(m,n,k) = (1,2012,2014)$, $(2011,2011,2012)$, $(2011,2012,2013)$, $(2011,2012,2014)$, $(2011,2013,2013)$ için birer kez oynanırsa, Ayşe bunlardan en az kaçını kazanmayı garantileyebilir?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) $5$

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin sırasıyla, $[BC]$ ve $[AC]$ kenarları üstünde yer alan $D$ ve $E$ noktaları için, $AD$ ve $BE$ doğruları $F$ noktasında kesişiyor. $|AF| = |CD| = 2|BF| = 2|CE|$ ve $\text{Alan}(ABF) = \text{Alan}(DEC)$ ise, $\text{Alan}(AFC)/\text{Alan}(BFC)$ nedir?

a) $4$ b) $2\sqrt{2}$ c) $2$ d) $\sqrt{2}$ e) $1$

$x^3 + y^3 = x^2yz + xy^2z + 2$ eşitliğini sağlayan kaç $(x, y, z)$ tam sayı üçlüsü vardır?

a) $5$ b) $4$ c) $3$ d) $2$ e) $1$

$f : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}$ fonksiyonu tüm $m, n$ tam sayıları için,

$$m + f(m + f(n + f(m))) = n + f(m)$$

ve $f(6) = 6$ koşullarını sağlıyorsa, $f(2012)$ nedir?

a) $-2010$ b) $-2000$ c) $2000$ d) $2010$ e) $2012$

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ sayılarının $(a_1, a_2, \dots, a_{10})$ permütasyonlarından kaçı için, $|a_1 - 1| + |a_2 - 2| + \cdots + |a_{10} - 10| = 4$ olur?

a) $60$ b) $52$ c) $50$ d) $44$ e) $36$

$|AB| = 2|BC|$ olan $ABCDA'B'C'D'$ dikdörtgenler prizmasında $[BB']$ ayrıtı üstündeki $E$ noktası $|EB'| = 6|EB|$ koşulunu sağlıyor. $AEC$ ve $A'EC'$ üçgenlerinde $E$ ye ait yüksekliklerin ayakları sırasıyla, $F$ ve $F'$ olmak üzere, $m(FEF') = 60^\circ$ ise, $|BC|/|BE|$ nedir?

a) $\sqrt{\dfrac{5}{3}}$ b) $\sqrt{\dfrac{15}{2}}$ c) $\dfrac{3}{2}\sqrt{15}$ d) $5\sqrt{\dfrac{5}{3}}$ e) Hiçbiri

$n \geq 2012$ olmak üzere, $1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n$ sayısının 10 ile bölünmesini sağlayan en küçük $n$ tam sayısı nedir?

a) 2012 b) 2013 c) 2014 d) 2015 e) 2016

$x^3+y^4 = x^2y$ eşitliğini sağlayan tüm $(x, y)$ pozitif gerçel sayı ikililerinde $x$ in aldığı en büyük değer $A$ ve $y$ nin aldığı en büyük değer $B$ ise, $A/B$ nedir?

a) $\dfrac{2}{3}$ b) $\dfrac{512}{729}$ c) $\dfrac{729}{1024}$ d) $\dfrac{3}{4}$ e) $\dfrac{243}{256}$

Her kutuda en çok 20 taş olmak koşuluyla $k$ tane taş 2012 kutuya nasıl dağıtılmış olursa olsun, bu kutulardan bazılarını seçip, seçtiğimiz kutulardan istediklerimizden istediğimiz sayıda taş atarak, seçtiğimiz kutularda toplam olarak en az 100 tane ve bu kutuların her birinde eşit sayıda taş kalmasını sağlayabiliyorsak, $k$ en az kaç olabilir?

a) 500 b) 450 c) 420 d) 349 e) 296