TR-MO-R1 2024

$AB \parallel CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunda, $E$ noktası $D$ ile $F$ arasında olacak şekilde $[CD]$ üzerinde alınan $E$ ve $F$ noktaları için, $m(\widehat{DAF}) = m(\widehat{BAF}) = 45^\circ$, $m(\widehat{CBE}) = m(\widehat{ABE}) = 60^\circ$, $|DE| = 3$, $|CF| = 4$ ise, $|AB|$ kaçtır?

a) $2+4\sqrt{3}$ b) $3+3\sqrt{3}$ c) $5+\sqrt{3}$ d) $4+2\sqrt{3}$ e) Hiçbiri

Her $n \geq 2$ pozitif tam sayısı için $n$'den büyük olmayan en büyük asal sayı $f(n)$, $n$'den büyük olan en küçük asal sayı $g(n)$ olsun.

$$\frac{1}{f(2)g(2)} + \frac{1}{f(3)g(3)} + \cdots + \frac{1}{f(112)g(112)}$$

toplamı kaçtır?

a) $\dfrac{109}{222}$ b) $\dfrac{111}{226}$ c) $\dfrac{110}{113}$ d) $\dfrac{113}{224}$ e) $\dfrac{55}{111}$

$100$ öğrencinin katıldığı bir yaz okulunda en fazla $4$ arkadaşı olan öğrencilere utangaç diyelim. Her öğrencinin en az $4$ tane utangaç arkadaşı varsa, utangaç öğrenci sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $5$ e) $8$

$n$ bir pozitif tam sayı ve $a, b, c, d$ pozitif tek tam sayılar olmak üzere, $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 11 \cdot 4^n$ eşitliğini sağlayan kaç $(a, b, c, d, n)$ beşlisi vardır?

a) $4$ b) $6$ c) $12$ d) $16$ e) $20$

$x$ ve $y$ pozitif gerçel sayıları $x^2 + xy = 1$ şartını sağlıyorsa, $61x + 25y$ en az kaç olabilir?

a) $40$ b) $50$ c) $60$ d) $70$ e) $80$

Bir tahtaya $5$, $10$, $15$, $20$, $25$, $30$, $35$, $40$ sayıları yazılmıştır. $k$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, her işlemde tahtadaki sayılardan $k$ tanesi seçiliyor ve seçilmiş her sayı $1$ azaltılıyor. Birkaç işlem sonucunda tahtadaki tüm sayıları $0$ yapmak mümkünse, $k$'ye uygun sayı diyelim. $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ sayılarından kaç tanesi uygun sayıdır?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) $5$

$k$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $k$'nin pozitif tam bölenlerinin sayısını $d(k)$ ile gösterelim. $d(n^3) = 2 \cdot d(n^2)$ ve $1 \leq n \leq 2024$ koşullarını sağlayan

kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

a) $3$ b) $5$ c) $7$ d) $9$ e) $11$

$\{3x\} + \{4x\} + \{5x\} = \{x\} + 2$ denkleminin kaç tane $0 < x < 1$ çözümü vardır? ($x$ gerçel sayısı için $x$'ten, $x$'i aşmayan en büyük tam sayının çıkarılmasıyla elde edilen sayı $\{x\}$ ile gösterilir. Örneğin, $\{20,24\} = 0,24$ ve $\{32\} = 0$.)

a) $0$ b) $1$ c) $2$ d) Sonsuz çoklukta e) Hiçbiri

$5 \times 5$ bir satranç tahtasının $5$ birim karesine birer bilye yerleştirilecektir. Bu yerleştirme, herhangi bir satır ile herhangi bir sütunun birleşiminde en az bir bilye bulunması koşuluyla kaç farklı şekilde yapılabilir?

a) $5760$ b) $5870$ c) $5940$ d) $6050$ e) $6130$

$N$ pozitif tam sayısının $1$ dışındaki en küçük tek pozitif böleni $d$, en büyük tek pozitif böleni ise $D$ olsun. $N = 15D + 11d$ olmasını sağlayan $N$ pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

a) $4576$ b) $4928$ c) $5280$ d) $5632$ e) $5984$

$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere, $(x^2+1)(y^2+1)+129 = 12xy + 18(x+y)$ ise, $xy$ kaçtır?

a) $3$ b) $4$ c) $5$ d) $6$ e) $7$

Bir dik koordinat düzleminde, $0 \leq x \leq 9$ ve $0 \leq y \leq 9$ koşullarını sağlayan tam sayı koordinatlı $(x, y)$ noktalarının $N$ tanesi boyanmıştır. Üç köşesi de boyalı olan bir dik üçgen bulunmuyorsa, $N$ en fazla kaç olabilir?

a) $16$ b) $18$ c) $20$ d) $22$ e) $26$

$n^2+1$'in $269$ ile tam bölünmesini sağlayan en küçük $n$ pozitif tam sayısının rakamları toplamı kaçtır?

a) $10$ b) $12$ c) $14$ d) $16$ e) Hiçbiri

Sekiz tane 1 ve sekiz tane 0, $4 \times 4$ bir satranç tahtasının birim karelerine her bir birim karede bir sayı bulunacak şekilde yerleştirilecektir. Bu işlem, her bir satırdaki sayıların toplamı çift ve her bir sütundaki sayıların toplamı tek olacak şekilde kaç farklı biçimde yapılabilir?

a) $216$ b) $240$ c) $252$ d) $288$ e) Hiçbiri

$2^{22!}-1$ sayısını bölmeyen en küçük tek pozitif tam sayının rakamları toplamı kaçtır?

a) $7$ b) $9$ c) $11$ d) $13$ e) $15$

$x$, $y$, $z$, $a$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $xyz = a$ şartını sağlayan tüm $(x, y, z)$ üçlüleri için $x^2 + 2y^2 + 4z^2 - 6xyz$ sayısının alabileceği en küçük değere $f(a)$ diyelim. $f(a)$ sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

a) $1$ b) $\sqrt{2}$ c) $\dfrac{11}{12}$ d) $\dfrac{8}{9}$ e) $\sqrt[3]{3}$

Başlangıçta bir doğru üzerinde farklı ağırlıklı $n$ top soldan sağa hafiften ağıra doğru sıralanmıştır. Her işlemde aralarında $2$ veya $5$ top olan iki top birbirleriyle yer değiştiriliyor. $n = 2022, 2023, 2024, 2025$ değerlerinin kaçı için birkaç işlem sonucunda toplar soldan sağa ağırdan hafife doğru dizilebilir?

a) $0$ b) $1$ c) $2$ d) $3$ e) $4$

$n \leq 2024$ bir pozitif tam sayı olmak üzere; $\{kn : \ k \in \mathbb{Z}, 1 \leq k \leq 2024\}$ kümesinde tam olarak 9 tane tam kare bulunmasını sağlayan $n$ sayılarının toplamı kaçtır?

a) 18240 b) 18810 c) 19380 d) 19950 e) 20520

Birbirinden farklı $x$, $y$, $z$ gerçel sayıları,

$$\begin{aligned} x^2 + y^2 &= 9x + 7y + 6z \\ y^2 + z^2 &= 7x + 7y + 8z \\ z^2 + x^2 &= 6x + 8y + 8z \end{aligned}$$

eşitliklerini sağlıyorsa, $\dfrac{15x^2 + 4y^2}{z^2}$ kaçtır?

a) $4$ b) $5$ c) $6$ d) $7$ e) Hiçbiri

$(x_1, \dots, x_{32})$ 32-lisi $(1, 2, \dots, 32)$'nin bir permütasyonu olmak üzere, her $i = 1, \dots, 32$ için $y_i = \max\{x_1, x_2, \dots, x_i\}$ olsun. Tam olarak 2 tane $i$ indisi için $y_i = x_i$ olmasını sağlayan $(x_1, x_2, \dots, x_{32})$ permütasyonlarının sayısının 29 ile bölümünden kalan kaçtır?

a) $0$ b) $4$ c) $9$ d) $18$ e) $27$

Pozitif tam bölenlerinin ortancası (medyanı) $63$ olan en küçük pozitif tam sayının rakamları toplamı kaçtır? (Bir veri grubunun ortancası, veri grubu küçükten büyüğe doğru sıralandığında veri sayısı tekse en ortadaki sayıya, çiftse en ortadaki iki sayının aritmetik ortalamasına eşittir.)

a) $8$ b) $14$ c) $18$ d) $20$ e) $22$

Bir $\{a_n\}_{n\geq 1}$ dizisi, $a_1 = 2$ ve her $n \geq 1$ tam sayısı için

$$\left(a_{n+1} - \frac{3a_n + 1}{a_n + 3}\right)\left(a_{n+1} - \frac{5a_n + 1}{a_n + 5}\right) = 0$$

şartını sağlamaktadır. Buna göre, $a_{2024}$ sayısı kaç farklı değer alabilir?

a) $2024$ b) $2024^2$ c) $2^{2023}$ d) $2^{2024}$ e) Hiçbiri

İlk hamleyi Aslı yapmak üzere, Aslı ve Zehra sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Hamleler yapılmadan önce Zehra $1, 2, \ldots, 200$ sayılarıyla numaralanmış bilyeleri istediği bir sırayla bir doğru üzerine diziyor. Sırası gelen oyuncu bu bilye dizisinin en solunda ve en sağında bulunan iki bilyeden birini alıyor. Zehra, yüzüncü bilyesini aldığında elindeki en büyük ve en küçük numaralı bilyelerin numaraları farkının en fazla $N$ olmasını garantileyebiliyorsa, $N$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

a) $99$ b) $112$ c) $125$ d) $149$ e) Hiçbiri