TR-MO-R1 2017

$210^9$ doğal sayısının pozitif bölenlerinin kaç tanesi $4,\ 9,\ 25,\ 49$ doğal sayılarından en az ikisine tam bölünür?

A) $9984$ B) $9744$ C) $9728$ D) $9648$ E) $9216$

$x, y \geq -2017$ olmak üzere, $\dfrac{x}{x-y+2017} - \dfrac{y}{x-y-2017} = 1$ denklemini sağlayan kaç farklı $(x, y)$ tam sayı ikilileri vardır?

A) $4033$ B) $4034$ C) $6051$ D) $6052$ E) $8068$

Tepe açısı $s\left(\hat{A}\right) = 100^\circ$ olan $ABC$ ikizkenar üçgeninde $\hat{C}$ açısının açıortayı $AB$ kenarını $D$ noktasında kesiyor. $|AD| = x$, $|DC| = y$ ise $|BC|$'nin $x$ ve $y$ cinsinden değeri hangisidir?

A) $x + 2y\operatorname{Cos} 40^\circ$ B) $y + 2x\operatorname{Cos} 20^\circ$ C) $y + 2x$ D) $3x - y$ E) $x + y$

Beş basamaklı bir sayının birler ve onlar basamağı silindiğinde tam kare olan üç basamaklı bir sayı elde edilmektedir, ayrıca bu sayının binler ve on binler basamağı silindiğinde de tam kare olan üç basamaklı bir sayı elde edilmektedir. Bu özelliklere sahip kaç farklı beş basamaklı doğal sayı vardır?

A) $52$ B) $54$ C) $57$ D) $58$ E) $60$

7 kişi, zemin katta bulunan bir asansöre binip, her katta en az bir kişi inecek şekilde dört kat çıkıyor ve dördüncü katta asansör tamamen boşalıyor. Bu asansör kaç farklı şekilde kullanılır?

A) 8400 B) 8449 C) 8456 D) 9114 E) 9149

$a,b,c$ sayıları $x^3+x-1=0$ denkleminin kökleri olsun. Aşağıdaki denklemlerden hangisinin kökleri $a.b,\ b.c,\ c.a$ olur?

A) $x^3-x-1=0$ B) $x^3-x^2+1=0$ C) $x^3-x^2-x-1=0$ D) $x^3-x+1=0$ E) $x^3-x^2-1=0$

$|AB|=2|BC|$ olan $ABCD$ dikdörtgenin içinde $s\left(E\hat{A}B\right)=s\left(A\hat{B}E\right)=15^\circ$ olacak şekilde bir $E$ noktası alınıyor. $|AE|=2$ ise $|CE|=?$

A) $2\sqrt{2+\sqrt{3}}$ B) $\sqrt{4+\sqrt{3}}$ C) $\sqrt{6+\sqrt{3}}$ D) $2\sqrt{1+\sqrt{3}}$ E) $\sqrt{2+2\sqrt{3}}$

$n$, pozitif bir tam sayı olmak üzere, $(n+2)^4$ sayısının $(n+1)^4$ sayısına bölümünden kalan $K_n$ olsun. $K_n$ sayısının 4 ile bölümünden kalan $R_n$ ise

$$R_1+R_2+R_3+\cdots+R_{2016}+R_{2017}=?$$

A) 2016 B) 2017 C) 4030 D) 4031 E) 6053

İçi dolu bir küre, merkezinden geçen 100 düzlem ile en fazla kaç parçaya bölünür?

A) $2^{100}-2$ B) $9898$ C) $2^{198}+2$ D) $3^{100}+2$ E) $9902$

$\left.\begin{aligned} x-2y+xy&=1+\sqrt{10} \\ x^2+4y^2&=13 \end{aligned}\right\}$ ise $|x-2y-2|=?$

A) $2\sqrt{2}-\sqrt{5}$ B) $\sqrt{10}-1$ C) $\sqrt{-2+\sqrt{10}}$ D) $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ E) $-3+\sqrt{10}$

$ABCD$ dışbükey dörtgeninde $ABD$, tepe açısı $\hat{A}=60+2x$ olan ikizkenar bir üçgendir. $s\left(B\hat{A}C\right)=s\left(B\hat{C}A\right)=x$ ise $s\left(D\hat{C}A\right)=?$

A) $30$ B) $30+x$ C) $30-x$ D) $30-2x$ E) $25$

$n$ pozitif bir tam sayı olsun.

$$x+y=n$$ $$xy=n+65$$

sisteminin $(x,y)$ gerçel çözümlerinin olması için $n$' nin en küçük değeri kaçtır?

A) $21$ B) $19$ C) $18$ D) $17$ E) $16$

$$\sum_{k+l=0}^{97} \binom{100}{k} \binom{100-k}{l} \binom{100-k-l}{97-k-l} = ?$$

A) $3^{100} \cdot 53900$ B) $3^{97} \cdot 107800$ C) $3^{105} \cdot 10780$ D) $3^{100} \cdot 107800$ E) $3^{98} \cdot 53900$

$x, y, z, w, v$ negatif olmayan tam sayılardır. $$x^2 + y^2 + z^2 + w^2 + v^2 = 40$$ denklemini gerçekleyen tüm $(x, y, z, w, v)$ tam sayı beşlilerinin sayısı kaçtır?

A) 56 B) 66 C) 112 D) 120 E) 122

Düzlemde $A(1,0)$, $B(5,2)$ noktaları veriliyor. $y = x + 2$ doğrusu üzerinde, $|AC|^2 + |CB|^2$ minimum olmasını sağlayan bir $C$ noktası alınıyor. Bu durumda $|AC|^2 + |CB|^2 = ?$

A) 26 B) $\dfrac{425}{16}$ C) $\dfrac{53}{2}$ D) $\dfrac{105}{4}$ E) 25

$p$ bir tek asal sayı olmak üzere, $\sqrt{x\left(x - p^2\right)}$ sayısının bir tam sayı olmasını sağlayan $x$ pozitif tam sayılarından en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\dfrac{p^2+1}{4}$ B) $\dfrac{p^4+1}{4}$ C) $\left(\dfrac{p^2+1}{2}\right)^2$ D) $\left(\dfrac{p^2-1}{2}\right)^2$ E) $\dfrac{\left(p^2+1\right)\left(p^2-p+1\right)}{4}$

KARPUZ kelimesinin harfleri ile yazılabilecek olan tüm kelimelerin kaç tanesinde ya K, A’dan önce, ya da R, A’den sonra, ya da R, P’den öncedir? (Burada önce ya da sonra ifadeleri yan yana olmaları gerektiği anlamına gelmez)

A) $696$ B) $690$ C) $660$ D) $600$ E) $580$

$n=1,2,3,\ldots$ doğal sayıları için $a_n = 2 - \dfrac{1}{n^2 - \sqrt{n^4 + \frac{1}{4}}}$ ise

$$\frac{1}{\sqrt{a_1}} + \frac{2}{\sqrt{a_2}} + \frac{3}{\sqrt{a_3}} + \cdots + \frac{19}{\sqrt{a_{19}}} + \frac{20}{\sqrt{a_{20}}} = ?$$

A) $\dfrac{\sqrt{761}+1}{4}$ B) $\dfrac{\sqrt{761}-1}{4}$ C) $20$ D) $19$ E) $7$

Bir kenarı $12$ olan $ABCD$ karesinde $|AE|=3,\ |AF|=4$ olacak şekilde $AB$ ve $AD$ kenarları üzerinde sırasıyla $E$ ve $F$ noktaları alınıyor. Kare içinde bir tabanı $EF$ ve diğer tabanın köşeleri $BC$ ve $DC$ kenarları üzerinde olan maksimum alana sahip yamuğun alanı kaçtır?

A) $76$ B) $74$ C) $\dfrac{147}{2}$ D) $73$ E) $\dfrac{145}{2}$

$\displaystyle\sum_{n=1}^{30} n^{61} \equiv x \left(\bmod 31^2\right)$ ise $x=?$

A) $404$ B) $434$ C) $465$ D) $496$ E) $527$

$1, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8$ rakamlarını kullanarak aynı olan rakamlar yan yana olmayacak şekilde oluşturulabilen beş basamaklı kaç farklı şifre vardır?

A) 980 B) 840 C) 720 D) 660 E) 580

$f(0)=\dfrac{2}{3}$ ve $n=1,2,3,\ldots$ için $f(n)\neq 0$ ve $\big(f(n+1)-1\big)\big(f(n)+3\big)+3=0$ olduğuna göre

$$\frac{1}{f(0)}+\frac{1}{f(1)}+\frac{1}{f(2)}+\frac{1}{f(3)}+\cdots+\frac{1}{f(2016)}+\frac{1}{f(2017)}=?$$

A) $3^{2018}-1010$ B) $3^{2017}-1009$ C) $2\cdot 3^{2018}-1009$ D) $2\cdot\left(3^{2017}-505\right)$ E) $2\cdot 3^{2017}-1009$

$|AB|=|AC|$ ve $\tan B=\dfrac{5}{12}$ olan $ABC$ üçgeni veriliyor. Yarıçapı 1 olan bir çember $AB$ ve $AC$ kenarlarına sırasıyla $K$ ve $L$ noktalarında teğet olup $BC$ kenarını $P$ ve $Q$ noktalarında kesmektedir. $P$, $B$ ile $Q$ arasında ve $|BK|=\dfrac{12}{5}$ ise $BQK$ üçgeninin alanı kaçtır?

A) $\dfrac{3}{2}$ B) $\dfrac{8}{5}$ C) $\dfrac{108}{65}$ D) $\dfrac{25}{13}$ E) $\dfrac{144}{65}$

$n^2-1$, üç farklı asal sayının çarpımı şeklinde yazılabilen bir doğal sayıdır. Bu özelliği gerçekleyen en küçük birbirinden farklı ilk beş $n$ sayısının toplamı kaçtır?

A) 104 B) 110 C) 116 D) 124 E) 144

Ali 7 arkadaşını bir hafta boyunca haftanın her günü 3'lü gruplar şeklinde akşam yemeğine davet etmektedir. Arkadaşlarından herhangi ikisi sadece bir akşam bir arada olmaları koşuluyla Ali, bu daveti kaç farklı şekilde gerçekler?

A) $15\cdot 7!$ B) $30\cdot 7!$ C) $35\cdot 7!$ D) $42\cdot 7!$ E) $60\cdot 7!$

$f(x)=x^3-12x^2+Ax+B$, gerçel sayılarda tanımlı artan bir fonksiyon olsun. $(f\circ f\circ f)(3)=3$ ve $(f\circ f\circ f\circ f)(4)=4$ ise $f(7)=?$

A) 7 B) 12 C) 31 D) 38 E) 42

$s(\hat{A})=60^\circ$ olan $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi çiziliyor. $B$ köşesinden çizilen teğet doğru ile $CA$ kenarının uzantısı $D$ noktasında kesişiyor. Burada $A$ noktası, $C$ ile $D$ arasındadır. $|DC|=4$, $|AB|+|AD|=|AC|$ ise $\dfrac{|BC|}{|AB|}=?$

A) $2$ B) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ C) $\dfrac{3}{2}$ D) $\sqrt{2}$ E) $\sqrt{3}$

$A=64\cdot 10^{2014}\cdot(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{2017})$ koşulunu sağlayan en büyük 2017 basamaklı $A=a_1a_2a_3\ldots a_{2017}$ doğal sayısının rakamlar toplamı kaçtır?

A) 11 B) 13 C) 15 D) 19 E) 2017

$\binom{2017}{1}+\binom{2017}{5}+\binom{2017}{9}+\binom{2017}{13}+\cdots+\binom{2017}{2013}+\binom{2017}{2017}=?$

A) $2^{2016}+2^{1006}$ B) $2^{2017}-2^{1007}$ C) $2^{2015}+2^{1005}$ D) $2^{2015}+2^{1007}$ E) $2^{2017}-2^{1008}$

$1001^{20}$ sayısının son 12 rakamının toplamı kaçtır?

A) 15 B) 18 C) 21 D) 24 E) 32

$|AB|=|BC|$ olan $ABC$ ikizkenar üçgeninin $AC$ kenarına $A$ noktasında teğet ve $B$ noktasından geçen merkezi üçgenin dışında olan çember çiziliyor. Bu çember $BC$ kenarını $E$ noktasında kesmektedir. $2|BE|=3|EC|$ ve $ABC$ üçgeninin alanı $27$ ise çemberin yarıçapı kaçtır?

A) $4$ B) $\frac{9}{2}$ C) $5$ D) $\frac{23}{4}$ E) $6$

$3^{2^{2017}}-1$ sayısının $2^{2020}$ sayısına bölümünden kalan kaçtır?

A) $2^{2017}$ B) $2^{2019}$ C) $2^{2017}+1$ D) $2^{2018}+1$ E) $2^{2018}+2$