TR-MO-R1 2019

Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası ve $[AD]$ üzerinde bir $E$ noktası alınıyor. $|DE| = 1$, $|AE| = 2$ ve $|BD| = |CD| = \sqrt{3}$ ise, $m(\widehat{BAC}) + m(\widehat{BEC})$ kaçtır?

a) $90^\circ$ b) $120^\circ$ c) $135^\circ$ d) $150^\circ$ e) $180^\circ$

$2020^{2019}$ sayısının 27 ile bölümünden kalan kaçtır?

a) 10 b) 13 c) 16 d) 19 e) 22

$k$ bir sabit gerçel sayı olmak üzere,

$$\begin{aligned} x + y - 2z &= 1 \\ 3x + 4z &= 2 \\ kx + 2y &= 3 \end{aligned}$$

denklem sistemini sağlayan $(x, y, z)$ gerçel sayı üçlüsü bulunmuyorsa, $k$ kaçtır?

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

İki basamaklı pozitif tam sayılardan oluşan ve herhangi iki elemanının çarpımı 100 ile tam bölünmeyen bir kümenin eleman sayısı en fazla kaç olabilir?

a) 74 b) 76 c) 78 d) 80 e) 82

Bir $ABCD$ dikdörtgeninin $[AB]$ kenarı üzerinde $m(\widehat{BDC}) = m(\widehat{EDA})$ olacak biçimde bir $E$ noktası alınıyor. $[BD]$ doğru parçasının orta noktası $F$ olmak üzere, $|AD| = 6$ ve $|BE| = 9$ ise, $|EF|$ kaçtır?

a) $3$ b) $4$ c) $3\sqrt{2}$ d) $2\sqrt{6}$ e) $2\sqrt{5}$

$\dfrac{2019^p - 27^p}{p}$ ifadesinin bir tam sayı olmasını sağlayan $p$ asal sayılarının toplamı kaçtır?

a) $46$ b) $58$ c) $66$ d) $78$ e) $88$

$P(x) = (x+1)^{2019} + (x-1)^{2019}$ polinomunun $x^2+1$ polinomu ile bölümünden kalan polinom nedir?

a) $2^{2019}x$ b) $2^{1010}x$ c) $2^{1009}x$ d) $2019x$ e) $1010x$

$1, 2, \dots, 27$ sayıları ile numaralandırılmış $27$ top, $1, 2, \dots, 27$ sayıları ile numaralandırılmış $27$ kutuya her bir kutuda bir top bulunacak şekilde dağıtılacaktır. Her bir top için topun numarası bulunduğu kutunun numarasının iki katını geçmeyecek şekilde bu dağılım kaç farklı biçimde yapılabilir?

a) $13! \cdot 14!$ b) $14! \cdot 14!$ c) $2 \cdot 14! \cdot 15!$ d) $9! \cdot 14! \cdot 14!$ e) $9! \cdot 9! \cdot 9!$

Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alınıyor. $D$ noktasından $[BC]$ kenarına inen dikme ayağı $E$ olmak üzere, $|AD| = 1$, $|BE| = 2$, $|CE| = 4$ ve $|CD| = \sqrt{21}$ ise, $|AC|$ kaçtır?

a) $4$ b) $5$ c) $2\sqrt{6}$ d) $3\sqrt{2}$ e) $2\sqrt{5}$

$x$ ve $y$ tam sayılar ve $x^2y - 15 = 2x(y+1)$ olmak üzere, $x+y$ nin alabileceği farklı değerler toplamı kaçtır?

a) $-25$ b) $-14$ c) $-8$ d) $-6$ e) $0$

Ahmet'in 2019 yılındaki yaşı, doğum yılının son iki basamağının çarpımından 4 eksiktir. Buna göre Ahmet'in doğum yılının rakamları toplamı kaçtır?

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

Özdeş 6 kırmızı top ve özdeş 6 beyaz top A, B, C, D ve E kutularına, A kutusunda kırmızı toplar beyaz toplardan fazla, B kutusunda beyaz toplar kırmızı toplardan fazla, C, D ve E kutularının her birinde ise eşit sayıda kırmızı ve beyaz top olacak biçimde kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

a) 240 b) 252 c) 256 d) 275 e) 288

$AB \parallel CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunun $[BC]$ kenarı üzerinde alınan bir $E$ noktası için, $|BE| > |EC|$, $\text{Alan}(ABE) = 15$, $\text{Alan}(AED) = 23$ ve $\text{Alan}(ECD) = 4$ ise, $\dfrac{|BE|}{|EC|}$ oranı kaçtır?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

$A, B$ ve $C$ farklı rakamlar olmak üzere, dört basamaklı $A477, B477$ ve $C477$ sayılarının her biri asal sayı olduğuna göre, $A + B + C$ kaçtır?

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

$2x^2 + y^2 = 1$ eşitliğini sağlayan $(x, y)$ gerçel sayı ikilileri için $2x + y$ toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

a) 1 b) $\sqrt{2}$ c) $\sqrt{3}$ d) 2 e) Hiçbiri

$A, B, C, D$ ve $E$ noktaları çevresi 15 birim olan bir çember üzerinde bulunmaktadır. $A$ noktasında bulunan bir böcek, $A$ dan $B$ ye, $B$ den $C$ ye, $C$ den $D$ ye, $D$ den $E$ ye ve $E$ den $A$ ya çember boyunca ilerleyerek gidiyor. Böceğin katettiği mesafeler sırasıyla $(s_1, s_2, s_3, s_4, s_5)$ olmak üzere, $(s_1, s_2, s_3, s_4, s_5)$ beşlisi $(3, 7, 6, 5, 6)$, $(3, 6, 5, 2, 6)$, $(6, 4, 3, 7, 7)$ ve $(5, 3, 4, 5, 6)$ beşlilerinden kaçı olabilir?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

$k<n$ olmak üzere $A_1A_2\dots A_k$ düzgün $k$-geni $A_1A_2B_3B_4\dots B_n$ düzgün $n$-geninin içindedir. $A_3A_4B_4$ bir eşkenar üçgen ise, $k+n$ kaçtır?

a) 36 b) 33 c) 30 d) 27 e) 24

$a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $a*b$ işlemi, $a$ nın $b$ ile böümünden kalan sayı ile $b$ nin $a$ ile bölümünden kalan sayının çarpımı olarak tanımlanıyor. Örneğin, $18*7=28$ ve $5*10=0$ dır. $n*23=30$ eşitliğini sağlayan $n$ pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

a) 16 b) 21 c) 26 d) 31 e) 36

$x=\dfrac{8}{(16+\sqrt{240})(4+\sqrt[4]{240})(2+\sqrt[8]{240})}$ olmak üzere, $\dfrac{1}{1-(1-x)^8}$ kaçtır?

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 64

Aslı ve Berk, başlangıçta hiçbir birim karesi boyalı olmayan $27\times 27$ bir tahta üzerinde sırayla hamleler yaparak bir oyun oynuyorlar. Oyuna ilk başlayan Aslı, sırası geldiğinde boyalı olmayan bir birim kareyi kırmızıya boyuyor. Sıra Berk'e geldiğinde ise Berk, tahtanın birim karelerinden oluşan ve hiçbir birim karesi boyalı olmayan bir $2\times 2$ karenin dört birim karesini de maviye boyuyor. Bir oyuncu hamle yapamıyorsa oyun bitiyor ve Berk boyadığı birim kare sayısı kadar puan kazanıyor. Buna göre, Berk en fazla kaç puan kazanmayı garantileyebilir?

a) 316 b) 324 c) 336 d) 348 e) 364

$m(\widehat{ACB}) = 90^\circ$ olan bir $ABC$ dik üçgeninde $C$ ye ait yükseklik ayağı $D$ olmak üzere $|AD| = 8$ ve $|BD| = 17$ dir. $\widehat{ACB}$ ve $\widehat{CDB}$ açılarının iç açıortaylarının kesişim noktası $E$ ise, $|CE|$ kaçtır?

a) 15 b) 14 c) 12 d) 10 e) 9

Ardışık iki pozitif tam sayının her ikisinin de rakamları toplamı 11 ile tam bölünüyorsa, bu ardışık sayılardan küçük olanı en az kaç basamaklıdır?

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

Bir $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ fonksiyonu her $x$ gerçel sayısı için

$$f(x^2 - 4x + 1) = (f(x) - 5x + 5)\,(x^2 - 4x)$$

eşitliğini sağlıyorsa, $f(5)$ kaçtır?

a) 28 b) 32 c) 35 d) 40 e) 42

$A_1, A_2, \ldots, A_8$ adalar olmak üzere, her $k = 1, 2, \ldots, 7$ için $A_k$ ile $A_{k+1}$ ve $A_8$ ile $A_1$ arasında ikişer köprü bulunmaktadır. $A_1$ adasında bulunan bir kişi, bu 16 köprünün her birinden tam olarak bir kez geçerek $A_1$ adasına dönecek şekilde kaç farklı güzergah izleyebilir?

a) 4096 b) 4608 c) 4864 d) 5012 e) 5632

$C \in [AB]$ olmak üzere, $[AB]$ çaplı bir yarım çember üzerinde $D$ ve $E$ noktaları $m(\widehat{ACD}) = m(\widehat{BCE}) = 30^\circ$ olacak biçimde alınıyor. $|AC| = 27$ ve $|CB| = 3$ ise, $|CD| - |CE|$ kaçtır?

a) $15$ b) $18$ c) $21$ d) $10\sqrt{3}$ e) $12\sqrt{3}$

$n$ bir pozitif tam sayı ve $a_1, a_2, \dots, a_n \in \{-3, 2\}$ olmak üzere, $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k \binom{n}{k} = 87$ eşitliği sağlanıyorsa, $n$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

a) $6$ b) $7$ c) $8$ d) $9$ e) $10$

$$x = y^2 + y + 1$$ $$5y = 2 - x - x^2$$

denklem sistemini sağlayan kaç $(x, y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$ e) Hiçbiri

Bir ağaç üzerinde bulunan $22$ yuvanın herhangi ikisi $r_1, r_2, \dots, r_n$ renklerinden biri ile boyalı bir iple birleştirilmiştir. Bir salyangoz, her $k = 1, 2, \dots, n$ için herhangi bir yuvadan herhangi başka bir yuvaya sadece $r_k$ rengine boyalı ipler üzerinde ilerleyerek varabiliyorsa, $n$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

a) $21$ b) $20$ c) $16$ d) $12$ e) $11$

Bir dikdörtgenler prizmasının bir yüzeyi kırmızıya, iki yüzeyi maviye ve üç yüzeyi sarıya boyanmıştır. Kırmızı renkli yüzeyin alanı $100\ \text{cm}^2$, mavi renkli yüzeylerin alanları toplamı $109\ \text{cm}^2$ ve sarı renkli yüzeylerin alanları toplamı $59\ \text{cm}^2$ ise, bu prizmanın hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

a) $150$ b) $160$ c) $180$ d) $200$ e) $240$

Ahmet aklında bir pozitif tam sayı tutuyor. Sonrasında Ahmet Betül'e, bu sayının üç basamaklı olduğunu ve bu sayının sırasıyla $10$, $11$ ve $12$ ile bölümünden kalanları söylüyor. Betül yalnızca bu bilgileri kullanarak Ahmet'in sayısını bulabiliyor. Buna göre, Ahmet'in tuttuğu sayının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

a) $419$ b) $479$ c) $539$ d) $599$ e) $629$

$x^9+x^7+x^6+x^5+x^2-x-1$ polinomunun gerçel köklerinin toplamı $A$ ve çarpımı $B$ olmak üzere, $A(B+1)$ kaçtır?

a) $-2$ b) $-1$ c) $0$ d) $1$ e) $2$

Düz bir yol üzerinde yan yana yer alan $27$ bahçenin herhangi ikisinde aralarındaki hiçbir bahçede bulunmayan aynı bir ağaç türü yer almaktadır. Buna göre, bu bahçelerin en az birinde yer alan ağaç türü sayısı en az kaçtır?

a) $108$ b) $152$ c) $182$ d) $196$ e) $351$