TR-MO-R1 2015

Bir $ABCD$ dikdörtgeninin iç bölgesinde $EF \parallel AC$ olacak şekilde $E$ ve $F$ noktaları veriliyor. $E$ ve $F$ nin $AB$ kenarı üzerindeki izdüşümleri ile beraber oluşturdukları yamuğun alanı 3, $BC$ kenarı üzerindeki izdüşümleri ile beraber oluşturdukları yamuğun alanı 4, $CD$ kenarı üzerindeki izdüşümleri ile beraber oluşturdukları yamuğun alanı 5 olduğuna göre, $AD$ kenarı üzerindeki izdüşümleri ile beraber oluşturdukları yamuğun alanı kaçtır?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) Hiçbiri

Birkaç pozitif tam sayının en küçük ortak katları 2015 ise bu sayıların toplamı en az kaç olabilir?

a) 13 b) 22 c) 49 d) 65 e) 96

$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$ sonsuz geometrik dizisinin bazı elemanları silinerek toplamı $S$ ye eşit olan bir sonsuz geometrik dizi elde edilebiliyorsa, $S$ sayısı $\frac{1}{2015}, \frac{1}{215}, \frac{1}{15}, \frac{1}{5}$ değerlerinden kaçına eşit olabilir?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

Düzlemdeki $n$ doğrunun her biri diğer doğruların tam olarak 2015 tanesiyle kesişiyorsa, $n$ kaç farklı değer alabilir?

a) 1 b) 3 c) 6 d) 8 e) 10

Bir $ABCD$ karesinin $[AC]$ köşegeni üzerinde $|AE| = |EF| = |FC|$ olacak şekilde $E$ ve $F$ noktaları alınıyor. $ACD$ üçgeninin iç bölgesinde bulunan ve $AD$ kenarına teğet olan $O_1$ merkezli bir çember $AC$ kenarına da $E$ noktasında teğettir. Benzer şekilde $ACD$ üçgeninin iç bölgesinde bulunan ve $CD$ kenarına teğet olan $O_2$ merkezli bir çember $AC$ kenarına da $F$ noktasında teğettir. Buna göre $BO_1O_2$ üçgeninin alanının $DO_1O_2$ üçgeninin alanına oranı kaçtır?

a) $\dfrac{13+12\sqrt{2}}{17}$ b) $\dfrac{3+2\sqrt{2}}{5}$ c) $\dfrac{7+4\sqrt{2}}{13}$ d) $\dfrac{12+5\sqrt{2}}{9}$ e) $\dfrac{18+8\sqrt{2}}{21}$

$2323^{2323}$ ün pozitif tam bölenlerinin bazılarından oluşan $\{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ kümesinde hiçbir eleman bir diğerini tam bölmüyorsa, $n$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

a) $2322$ b) $2323$ c) $2324$ d) $2325$ e) Hiçbiri

$xy(x-y) = 1$ ve $x^2 - xy + y^2 = y + 1$ koşullarını sağlayan $(x, y)$ gerçel sayı ikilileri için $x^2 + y^2$ ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin farkı kaçtır?

a) $1$ b) $\sqrt{2}$ c) $\sqrt{3}$ d) $2$ e) $\sqrt{5}$

$a_i \in \{0, 1\}$ olmak üzere, kaç $(a_1, a_2, \dots, a_{11})$ onbirlisi $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \geq a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11}$ koşulunu sağlar?

a) $682$ b) $758$ c) $864$ d) $956$ e) $1024$

Bir $ABC$ üçgeninin $A$ köşesinden geçen iç açıortay ile $B$ köşesinden geçen kenarortay $P$ noktasında kesişiyor. $|AP| = \sqrt{3}$, $|BP| = 1$, $|CP| = \sqrt{7}$ ise, $ABC$ üçgeninin alanı kaçtır?

a) $\sqrt{3}$ b) $2$ c) $2\sqrt{2}$ d) $2\sqrt{3}$ e) $3\sqrt{2}$

Her $i \in \{1, 2 \ldots 22\}$ için $a_i$, $a_{i+1}$ i tam bölecek ve $a_{23}$ de $2015$ i tam bölecek biçimde kaç farklı $(a_1, a_2, \ldots, a_{23})$ pozitif tam sayı 23-lüsü vardır?

a) $23^3$ b) $23^4$ c) $24^3$ d) $24^4$ e) Hiçbiri

$a$ ve $b$, $a+b=1$ koşulunu sağlayan gerçel sayılar olmak üzere, $(a^2-b)(b^2-a)$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) $-3\sqrt{3}$ b) $-5$ c) $0$ d) $\dfrac{1}{16}$ e) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Köşeleri, verilmiş bir düzgün $n$-genin köşeleri üzerinde olan ikizkenar üçgenlerin sayısı $s(n)$ olmak üzere, $s(n) > s(n+1)$ koşulunu sağlayan kaç $n \leq 2015$ pozitif tam sayısı vardır?

a) $336$ b) $403$ c) $504$ d) $671$ e) $1007$

Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde $|BA_1| = |A_1A_2| = |A_2C|$ olacak biçimde $A_1$ ve $A_2$ noktaları alınıyor. Benzer şekilde $[CA]$ kenarı üzerinde $|CB_1| = |B_1B_2| = |B_2A|$ olacak biçimde $B_1$ ve $B_2$ noktaları alınıyor. $AA_1$ doğrusu $BB_1$ ve $BB_2$ doğrularını sırasıyla $X$ ve $W$ noktalarında, $AA_2$ doğrusu da $BB_1$ ve $BB_2$ doğrularını sırasıyla $Y$ ve $Z$ noktalarına kesiyor. Buna göre $XYZW$ dörtgeninin alanının $ABC$ üçgeninin alanına oranı kaçtır?

a) $\dfrac{1}{9}$ b) $\dfrac{4}{35}$ c) $\dfrac{8}{63}$ d) $\dfrac{9}{70}$ e) $\dfrac{1}{7}$

2015 den büyük olmayan pozitif tam sayılardan oluşan $\{a_1, a_2, \dots, a_k\}$ kümesinde herhangi iki elemanın farkı bu iki elemanın toplamını tam bölmüyorsa, $k$ en fazla kaç olabilir?

a) 403 b) 462 c) 504 d) 613 e) 672

$f : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ ve $g : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ fonksiyonları, her $x \neq 0$ için

$$f(2x+1) + g(x-1) = 3x + 2$$

$$f\left(\frac{x+1}{x}\right) + 3g\left(\frac{1-2x}{2x}\right) = \frac{1}{2x} + 4$$

eşitliklerini sağlıyorsa $f(2015) + g(2015)$ kaçtır?

a) $-2016$ b) $-2015$ c) $2014$ d) $2015$ e) Hiçbiri

Bir çember etrafına yüz sayı dizilmiştir. Saat yönünde kendisinden sonra gelen ilk iki sayıdan büyük olan sayılara A tipi, saat yönünde kendisinden önce gelen ilk iki sayıdan küçük olan sayılara ise B tipi sayı diyelim (bir sayı hem A hem de B tipi olabilir). A tipi sayıların sayısı 80 ise, B tipi sayıların sayısı en az kaç olabilir?

a) 60 b) 61 c) 62 d) 63 e) Hiçbiri

Düzlemde bir çember ve bu çemberin dış bölgesinde $A_1, A_2, \dots A_n$ noktaları veriliyor. Bu çemberin üzerindeki her $A$ noktası için, $[AA_1], [AA_2], \dots [AA_n]$ doğru parçalarından en az üçü çemberi yalnızca $A$ noktasında kesiyorsa, $n$ en az kaç olabilir?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

$0 \leq n < 23^2$ koşulunu sağlayan kaç farklı $n$ tam sayısı için, $n^5 + 2n^4 + n^3 - 3n + 2$ sayısı $23^2$ ile tam bölünür?

a) 0 b) 1 c) 5 d) 23 e) Hiçbiri

$f(x) = ax^2 - 3ax + 2a + 23$ fonksiyonu her $1 \leq x \leq 2$ için $|f(x)| \leq 23$ koşulunu sağlıyorsa, $a$ nın alabileceği en büyük değer nedir?

a) 178 b) 181 c) 184 d) 187 e) 190

Başlangıçta 101 top içeren bir kırmızı kutu ve boş bir beyaz kutu bulunuyor. Aslı ve Burak sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Aslı her hamlesinde bir pozitif tam sayı seçiyor ve kırmızı kutudan seçtiği sayıda topu beyaz kutuya aktarıyor. Burak da her hamlesinde bir pozitif tam sayı seçiyor ve beyaz kutudan seçtiği sayıda topu kırmızı kutuya aktarıyor. Bir sayı en fazla bir kez seçilebiliyor. Sırası gelen oyuncu hamle yapamazsa oyun bitiyor. İlk hamleyi yapan Aslı, beyaz kutuda en fazla kaç top kalmasını garantileyebilir?

a) 1 b) 49 c) 50 d) 51 e) 101

$|AB| = 11$ ve $|AC| = 9$ koşullarını sağlayan bir $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde $|BP| = 7$ ve $|CP| = 3$ koşullarını sağlayan bir $P$ noktası alınıyor. Buna göre $|AP|$ uzunluğunun alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

$x^2 + 1 \equiv ax \pmod{23}$ olacak şekilde en az bir $x$ tam sayısının bulunmasını sağlayan kaç farklı $0 \le a < 23$ tam sayısı vardır?

a) 5 b) 6 c) 10 d) 11 e) 12

Çevresi 23 birim ve alanı 23 birim kare olan kaç farklı ikizkenar üçgen vardır?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

Bir sınıftaki 23 öğrenci üç gruba, birbirleriyle arkadaş olan öğrenciler aynı grupta olmayacak şekilde tek türlü dağıtılabiliyorsa, sınıftaki arkadaş ikilisi sayısı en az kaç olabilir?

a) 41 b) 43 c) 46 d) 48 e) 50

Köşeleri bir çember üzerinde bulunan bir $ABCDE$ beşgeninin kenar uzunlukları $|AB| = |BC| = 7, |CD| = |AE| = 15$ ve $|DE| = 24$ olarak veriliyor. Bu beşgenin alanı kaçtır?

a) $112$ b) $168$ c) $210$ d) $276$ e) $360$

$n > 1$ tam sayısının en büyük ve en küçük asal bölenlerinin toplamı $f(n)$ olmak üzere, $f(n) = n - 23$ denklemini sağlayan kaç farklı $n > 1$ tam sayısı vardır?

a) $2$ b) $3$ c) $4$ d) $5$ e) $6$

$x^{23} - 2015^{2015}x + 23 = c$ denkleminin en az üç farklı gerçel çözümünün bulunmasını sağlayan tüm $c$ tam sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?

a) $-46$ b) $0$ c) $403$ d) $2015$ e) Hiçbiri

Tabanı $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7$ 7-geni olan bir piramidin her ayrıtının kırmızı ve mavi renklerden birine, bu piramidin her köşesinden herhangi bir diğer köşesine hem sadece kırmızıya boyalı hem de sadece maviye boyalı ayrıtlar takip edilerek ulaşılabilecek şekilde boyanmasına iyi boyama diyelim. Kaç iyi boyama vardır?

a) $218$ b) $234$ c) $252$ d) $298$ e) $324$

İç teğet çemberinin merkezi $I$ olan ve $|AB| = 3$, $|BC| = 7$, $|CA| = 5$ koşullarını sağlayan bir $ABC$ üçgeni verilmiştir. $BIC$ üçgeninin çevrel çemberi üzerinde $BC$ doğrusuna göre $I$ ile farklı tarafta kalacak biçimde alınan bir $D$ noktasından $[BC]$ kenarına inilen dikmenin ayağı $E$ dir. Buna göre $\dfrac{|BE|}{|CE|} = \dfrac{9}{5}$ ise $m\left(\widehat{BAD}\right)$ kaçtır?

a) $30^\circ$ b) $45^\circ$ c) $60^\circ$ d) $75^\circ$ e) $90^\circ$

$3(m^3n + n^2 + 1) = m(n^3 + 9m + n)$ denklemini sağlayan kaç farklı $(m, n)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) $0$ b) $2$ c) $4$ d) $8$ e) Sonsuz çoklukta

Elemanları $23$ den büyük olmayan $a_1, a_2, \dots, a_n$ pozitif tam sayılar dizisinde ilk ve son eleman dışındaki her eleman iki komşusunun aritmetik ortalamasından büyüktür. Buna göre $n$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

a) $12$ b) $13$ c) $14$ d) $15$ e) $16$

$23$ kentin bulunduğu bir ülkede $250$ kent ikilisi arasında karşılıklı uçak seferleri, ülkedeki herhangi bir kentten bir diğerine (doğrudan veya birkaç aktarmayla) en fazla $5$ saatlik uçuş süresi sonucunda ulaşılabilecek biçimde nasıl düzenlenirse düzenlensin, $k$ saatlik uçuş sonucunda bir kentten başlayıp her kente en az bir kez uğrayarak baştaki kente dönülebiliyorsa, $k$ nın alabileceği en küçük değer nedir?

a) $95$ b) $100$ c) $105$ d) $110$ e) $115$