TR-MO-R1 2009

$ABCD$ karesinin $[BC]$ kenarı üstünde bir $E$ noktası ve $[ED]$ üstünde bir $F$ noktası için, $|DF| = |BF|$ ve $|EF| = |BE|$ ise, $m(\widehat{DFA})$ nedir?

a) $45^o$ b) $60^o$ c) $75^o$ d) $80^o$ e) $85^o$

$a^2 + b^4 = 5^n$ eşitliğini sağlayan kaç $(a, b, n)$ pozitif tam sayı üçlüsü vardır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Sonsuz çoklukta

$x = \sqrt[3]{11 + \sqrt{337}} + \sqrt[3]{11 - \sqrt{337}}$ olduğuna göre, $x^3 + 18x$ kaçtır?

a) 24 b) 22 c) 20 d) 11 e) 10

Biri 5, diğeri 7 ile bölünebilen iki bileşik pozitif tam sayının toplamı şeklinde yazılamayan en büyük tam sayı kaçtır?

a) 82 b) 47 c) 45 d) 42 e) Hiçbiri

Bir dik üçgenin hipotenüsüne ait dış teğet çemberinin yarıçapı 30 ise, bu üçgenin çevresinin uzunluğu kaçtır?

a) 40 b) 45 c) 50 d) 60 e) 75

$a^2b + ab^2 = 2009201020092010$ eşitliğini sağlayan kaç $(a, b)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) 4 b) 2 c) 1 d) 0 e) Hiçbiri

$x^4 + 2x^3 - 8x^2 - 6x + 15$ ve $x^3 + 4x^2 - x - 10$ polinomlarının ortak olmayan gerçel köklerinin çarpımı kaçtır?

a) $-4$ b) $4$ c) $-6$ d) $6$ e) Hiçbiri

$\{1, 2, \ldots, n\}$ kümesi iki altkümeye nasıl ayrılırsa ayrılsın, altkümelerden en az birindeki iki farklı elemanın toplamı bir tam kare oluyorsa, $n$ en az kaçtır?

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninin köşegenlerinin kesişim noktası $E$ olmak üzere, $AEB, BEC, CED$ ve $DEA$ üçgenlerinin çevre uzunlukları birbirlerine eşittir. $AEB, BEC$ ve $CED$ üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yarıçapları sırasıyla, 3, 4 ve 6 ise, $DEA$ üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı kaçtır?

a) $\dfrac{9}{2}$ b) $\dfrac{7}{2}$ c) $\dfrac{13}{3}$ d) 5 e) Hiçbiri

$n$ tam sayısının kaç farklı değeri için $n^4+4n^3+3n^2-2n+7$ sayısı asaldır?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Sonsuz çoklukta

Her $n$ pozitif tam sayısı için, $a_n \neq 0$ ve $a_n a_{n+3} = a_{n+2} a_{n+5}$ koşullarını sağlayan bir $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ gerçel sayı dizisinde $a_1a_2 + a_3a_4 + a_5a_6 = 6$ ise, $a_1a_2 + a_3a_4 + \cdots + a_{41}a_{42}$ toplamı kaçtır?

a) 21 b) 42 c) 63 d) 882 e) Hiçbiri

Tam olarak yedi farklı rakamın kullanıldığı kaç tane sekiz basamaklı sayı vardır?

a) $\dbinom{9}{3}^2 \cdot 6! \cdot 3$ b) $\dbinom{8}{3}^2 \cdot 7!$ c) $\dbinom{8}{3}^2 \cdot 7! \cdot 3$ d) $\dbinom{7}{3}^2 \cdot 7!$ e) $\dbinom{9}{4}^2 \cdot 6! \cdot 8$

$AB//CD$ ve $m(\widehat{CAB}) < 90^o$ olan $ABCD$ yamuğunda , $|AB| = 5$, $|CD| = 3$ ve $|AC| = 15$ ise, $|BD|$ nin alabileceği farklı tam sayı değerlerin toplamı nedir?

a) $101$ b) $108$ c) $115$ d) $125$ e) Hiçbiri

Kaç $(m, n)$ pozitif tam sayı ikilisi için, $2008 \cdot 2009 \cdot 2010$ sayısı $mn$ ile bölünür?

a) $2 \cdot 3^7 \cdot 5$ b) $2^5 \cdot 3 \cdot 5$ c) $2^5 \cdot 3^7 \cdot 5$ d) $2^3 \cdot 3^5 \cdot 5^2$ e) Hiçbiri

$|x| + |y| = 13$ eşitliğini sağlayan $(x, y)$ gerçel sayı ikilileri için, $x^2 + 7x - 3y + y^2$ ifadesi aşağıdaki değerlerden hangisini alamaz?

a) $208$ b) $15\sqrt{2}$ c) $\dfrac{35}{2}$ d) $37$ e) Hiçbiri

$x + 19y \equiv 0 \pmod{23}$ ve $x + y < 69$ koşullarını sağlayan kaç $(x, y)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

a) $100$ b) $102$ c) $105$ d) $109$ e) Hiçbiri

$ABC$ eşkenar üçgeninin iç bölgesindeki bir $D$ noktası, $|AD| = 8$, $|BD| = 13$ ve $m(\widehat{ADC}) = 120^o$ koşullarını sağlıyorsa $|DC|$ kaçtır?

a) $12$ b) $13$ c) $14$ d) $15$ e) $16$

$1 \leq n \leq 455$ ve $n^3 \equiv 1 \pmod{455}$ koşullarını sağlayan kaç $n$ tam sayısı vardır?

a) $9$ b) $6$ c) $3$ d) $1$ e) Hiçbiri

$a$ bir gerçel sayı; $x_1$ ve $x_2$, $x^2 + ax + 2 = x$ denkleminin farklı iki kökü; $x_3$ ve $x_4$ de, $(x-a)^2 + a(x-a) + 2 = x$ denkleminin farklı iki kökü olmak üzere, $x_3 - x_1 = 3(x_4 - x_2)$ ise, $x_4 - x_2$ nedir?

a) $\dfrac{a}{2}$ b) $\dfrac{a}{3}$ c) $\dfrac{2a}{3}$ d) $\dfrac{3a}{2}$ e) Hiçbiri

İlk rakamı tek olup, çift rakam geçen basamaklarının sayısı çift olan beş basamaklı pozitif tam sayıların sayısı $A$ ve ilk rakamı çift olup çift rakam geçen basamaklarının sayısı çift olan beş basamaklı pozitif tam sayıların sayısı $B$ ise, $A - B$ kaçtır?

a) $5000$ b) $4640$ c) $3200$ d) $0$ e) Hiçbiri

$ABC$ üçgeninde $|AB| = |AC|$ ve $m(\widehat{BAC}) = 80^o$ dir. $ABC$ üçgeninin iç bölgesindeki bir $E$ noktası, $|AE| = |EC|$ ve $m(\widehat{EAC}) = 10^o$ koşullarını sağlıyorsa, $m(\widehat{EBC})$ nedir?

a) $10^o$ b) $15^o$ c) $20^o$ d) $25^o$ e) $30^o$

Her $n \geq 0$ için, $a_{n+1} = a_n^3 + a_n^2$ koşulunu sağlayan bir $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ tam sayı dizisinin terimlerinin 11 e bölümünden kalanların oluşturduğu kümenin en çok kaç elemanı vardır?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere, $x(x+4)(x+8)(x+12)$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

a) $-240$ b) $-252$ c) $-256$ d) $-260$ e) $-280$

$xy$-düzlemine, $m$ mavi ve $k$ kırmızı dikdörtgen, kenarları eksenlere paralel olacak, eksenlerden herhangi birine paralel olan hiçbir doğru aynı renkte birden fazla dikdörtgeni kesmeyecek ve farklı renkte hangi iki dikdörtgen alınırsa alınsın, yalnızca bunları kesen ve eksenlerden birine paralel olan bir doğru bulunacak biçimde yerleştirilmişse, $(m, k)$ tam sayı ikilisi aşağıdakilerden hangisi olamaz?

a) $(1, 7)$ b) $(2, 6)$ c) $(3, 4)$ d) $(3, 3)$ e) Hiçbiri

$ABC$ üçgeninin iç teğet çemberi, $BC$, $AC$ ve $AB$ kenarlarına sırasıyla, $A_1$,$B_1$ ve $C_1$ noktalarında teğettir. $AA_1$ doğrusu, iç teğet çemberi ikinci kez $Q$ noktasında kesiyor. $A_1C_1$ ve $A_1B_1$ doğruları, $A$ noktasından geçen ve $BC$ ye paralel olan doğruyu sırasıyla, $P$ ve $R$ noktalarında kesiyor. $m(\widehat{PQC_1}) = 45^o$ ve $m(\widehat{RQB_1}) = 65^o$ ise, $m(\widehat{PQR})$ nedir?

a) $110^o$ b) $115^o$ c) $120^o$ d) $125^o$ e) $130^o$

Her $0 \le i \le 17$ için, $a_i$ sayısı, $-1$, $0$ veya $1$ olmak üzere,

$$a_0 + 2a_1 + 2^2a_2 + \cdots + 2^{17}a_{17} = 2^{10}$$

eşitliğini sağlayan kaç $(a_0, a_1, \ldots, a_{17})$ on sekizlisi vardır?

a) 9 b) 8 c) 7 d) 4 e) 1

$f(x) = \dfrac{x^5}{5x^4 - 10x^3 + 10x^2 - 5x + 1}$ ve, $1 \le i \le 2009$ için, $x_i = \dfrac{i}{2009}$ ise, $f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_{2009})$ toplamı kaçtır?

a) 1000 b) 1005 c) 1010 d) 2009 e) 2010

Tüm tam sayılar kümesi, farkları asal bir sayıya eşit olan herhangi iki tam sayı aynı altkümeye düşmeyecek biçimde, $n$ altkümeye ayırılabiliyorsa, $n$ en az kaçtır?

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) Hiçbiri

$ABCD$ kirişler dörtgeninin $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenleri, $P$ noktasında kesişiyor. $APB$ ve $CPD$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleri, $ABCD$ dörtgeninin çevrel çemberi üstünde ve $|AC| + |BD| = 18$ ise, $ABCD$ dörtgeninin alanı nedir?

a) $36$ b) $\dfrac{81}{2}$ c) $\dfrac{36\sqrt{3}}{2}$ d) $\dfrac{81\sqrt{3}}{4}$ e) Hiçbiri

$11^2 + 13^2 + 17^2,\ 24^2 + 25^2 + 26^2,\ 12^2 + 24^2 + 36^2,\ 11^2 + 12^2 + 132^2$ sayılarından kaçı bir tam sayının karesine eşittir?

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

$|x^3 + 3x^2 - 33x - 3| \geq 2x^2$ eşitsizliğini, $|x| \geq n$ koşulunu sağlayan her $x$ gerçel sayısı için doğru kılan $n$ tam sayısının alabileceği en küçük değer nedir?

a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5

Her biri dört elemanlı $n$ kümeden, hangi farklı ikisini alırsak alalım, bu iki kümeden yalnızca birine ait olan tüm elemanlardan oluşan küme, başlangıçdaki $n$ kümeden birine eşitse, $n$ en çok kaçtır?

a) 3 b) 5 c) 7 d) 15 e) Hiçbiri

$ABC$ üçgeninin $[AL]$ ve $[BM]$ kenarortayları $K$ noktasında kesişiyor. $C, K, L, M$ noktaları çembersel ve $|AB| = \sqrt{3}$ ise, $[CN]$ kenarortayının uzunluğu nedir?

a) $1$ b) $\sqrt{3}$ c) $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ d) $3$ e) Hiçbiri

$x$ ve $y$ farklı pozitif tam sayılar olmak üzere, $(x+y^2)(x^2-y)/(xy)$ ifadesinin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değer nedir?

a) $3$ b) $8$ c) $14$ d) $15$ e) $17$

Her $n \geq 2$ için, $a_n = \sqrt[3]{n^3+n^2-n-1}/n$ ise, $a_2 a_3 \cdots a_k > 3$ eşitsizliğinin sağlanması için $k$ pozitif tam sayısının en az kaç olması gerekir?

a) $100$ b) $102$ c) $104$ d) $106$ e) Hiçbiri

Yüz kenti olan bir ülkedeki bazı kentler arasında yapılan tek yönlü uçak seferleri, başkentten başlayıp, ülkedeki her kentten en az bir kez geçerek, yeniden başkente dönmeyi mümkün kılan en az bir sefer dizisi bulunacak biçimde düzenlenmiştir. Böyle bir düzenlemede, bu şekildeki uçak seferi dizilerinden sefer sayısı en az olanın sefer sayısı, bütün bu tür düzenlemeler arasında en çok kaç olabilir?

a) $1850$ b) $2100$ c) $2550$ d) $3060$ e) Hiçbiri