TR-MO-R1 2010

Bir $ABC$ eşkenar üçgeninin iç bölgesindeki bir $D$ noktası için $m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{ABD}) = 5^o$ ve dış bölgesindeki bir $E$ noktası için de, $m(\widehat{CAE}) = m(\widehat{ACE}) = 5^o$ ise, $m(\widehat{EDC})$ kaçtır?

a) $45^o$ b) $40^o$ c) $35^o$ d) $30^o$ e) $25^o$

$y^2 - x^2 = 2y + 7x + 4$ eşitliğini sağlayan kaç $(x, y)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) Sonsuz çoklukta

$$\begin{aligned} x^2 + 2y &= 2xy \\ x^3 + x^2y &= y^2 \end{aligned}$$

denklem sistemini sağlayan kaç $(x, y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) Hiçbiri

Rakamlarının faktöriyellerinin toplamı kendisine eşit olan 2010 dan küçük kaç pozitif tam sayı vardır?

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) Hiçbiri

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninde, $|AB| = 10$, $|CD| = 3\sqrt{6}$, $m(\widehat{ABD}) = 60^o$, $m(\widehat{BDC}) = 45^o$, $|BD| = 13 + 3\sqrt{3}$ ise, $|AC|$ kaçtır?

a) $20$ b) $18$ c) $16$ d) $14$ e) $12$

$2011y^2 = 2010x + 3$ eşitliğini sağlayan kaç $(x, y)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) $3$ b) $2$ c) $1$ d) $0$ e) Sonsuz çoklukta

$r$ metre yarıçaplı daire biçiminde bir adacığın merkezinde duran bir kurbağa $1/2$ metrelik bir atlayışla başlayıp, her seferinde $90^o$ sağa veya sola dönerek bir öncekinin yarısı uzunluğunda bir atlayış yapıyor. Sonlu sayıda atlayışta kurbağanın suya varamamasını sağlayan en küçük $r$ değeri nedir?

a) $\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ b) $\dfrac{\sqrt{13}}{5}$ c) $\dfrac{\sqrt{19}}{6}$ d) $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ e) $\dfrac{3}{4}$

İlk $2010$ pozitif tam sayının rakamlarının toplamı kaçtır?

a) $30516$ b) $28068$ c) $25020$ d) $20100$ e) Hiçbiri

Bir $ABCD$ karesinin dışındaki bir $E$ noktasının $AC$ doğrusuna uzaklığı 6, $BD$ doğrusuna uzaklığı da 17 birimdir. $E$ noktasının karenin en yakın köşesine uzaklığı 10 birim ise, karenin alanı nedir?

a) 200 b) 196 c) 169 d) 162 e) 144

$0 \le n < 840$ koşulunu sağlayan kaç tam sayı için, $n^8 - n^4 + n - 1$ sayısı 840 ile bölünür?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 8

$xy$-düzleminde $(\sqrt{20}, \sqrt{10})$ merkezli bir çemberin üstünde koordinatları tam sayı olan en çok kaç tane nokta bulunabilir?

a) 8 b) 4 c) 2 d) 1 e) Hiçbiri

$0 \le a, b, c, d < 7$ olmak üzere, 7 nin $ab - cd$ yi bölmesini sağlayan kaç $(a, b, c, d)$ tam sayı dörtlüsü vardır?

a) 412 b) 385 c) 294 d) 252 e) Hiçbiri

$|AB| = |AC|$ ve $m(\widehat{BAC}) = 40^o$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarları üstünde sırasıyla, $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $BC$ doğrusu üstünde de $C$ noktası, $B$ ile $F$ arasında kalacak biçimde bir $F$ noktası alınıyor. $|BE| = |CF|$, $|AD| = |AE|$ ve $m(\widehat{BEC}) = 60^o$ ise, $m(\widehat{DFB})$ kaçtır?

a) $45^o$ b) $40^o$ c) $35^o$ d) $30^o$ e) $25^o$

Gerçel sayı doğrusu üstünde 0 noktasından başlayarak, her adımda doğru boyunca istediği yönde 364 veya 715 birim sıçrayan bir çekirgenin konduğu noktaların 2010 noktasına uzaklığı en az ne kadar olabilir?

a) 5 b) 8 c) 18 d) 34 e) 164

$x, y, z$ gerçel sayıları, $\dfrac{xyz}{x+y} = -1$, $\dfrac{xyz}{y+z} = 1$ ve $\dfrac{xyz}{z+x} = 2$ eşitliklerini sağlıyorsa, $xyz$ aşağıdaki değerlerden hangisini alabilir?

a) $-\dfrac{8}{\sqrt{15}}$ b) $\dfrac{8}{\sqrt{5}}$ c) $-8\sqrt{\dfrac{3}{5}}$ d) $\dfrac{7}{\sqrt{15}}$ e) Hiçbiri

11 farklı kitap üç raflı bir kitaplığa, en çok bir raf boş kalacak biçimde kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

a) $75 \cdot 11!$ b) $62 \cdot 11!$ c) $68 \cdot 12!$ d) $12 \cdot 13!$ e) $6 \cdot 13!$

Uzayda yer alan $A$, $B$, $C$, $D$ noktaları için, $|AB| = |AC| = 3$, $|DB| = |DC| = 5$, $|AD| = 6$ ve $|BC| = 2$ dir. $BC$ doğrusunun $D$ noktasına en yakın noktası $P$ ve $ABC$ üçgeninin bulunduğu düzlemin $D$ noktasına en yakın noktası da $Q$ ise, $|PQ|$ kaçtır?

a) $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ b) $\dfrac{3\sqrt{7}}{2}$ c) $\dfrac{57}{2\sqrt{11}}$ d) $\dfrac{9}{2\sqrt{2}}$ e) $2\sqrt{2}$

1000 elemanlı bir kümenin 500 elemanlı altkümelerinin sayısı aşağıdaki sayılardan hangisine bölünmez?

a) 3 b) 5 c) 11 d) 13 e) 17

$x^5 - 2x^2 - 9x - 6$ polinomumun farklı gerçel köklerinin toplamı nedir?

a) 0 b) 1 c) $-2$ d) 6 e) $-17$

0 sayısı ile başlanıp, her adımda bir önceki sayının 1 fazlası veya 2 katı alınarak, aşağıdaki sayılardan hangisini en az sayıda adımda elde edilir?

a) 2011 b) 2010 c) 2009 d) 2008 e) 2007

Merkezleri aynı ve yarıçapları 10 ve 20 birim olan iki düzlemdeş daireyi sırasıyla taban kabul eden, herbiri 20 birim yüksekliğinde bir dik silindir ve bir dik koni düzlemin aynı tarafında kalacak biçimde alınıyor. Koninin silindirin içinde kalan kısmının hacminin, silindirin dışında kalan kısmının hacmine oranı nedir?

a) $3$ b) $2$ c) $\dfrac{5}{3}$ d) $\dfrac{4}{3}$ e) $1$

$\dfrac{x}{y+7}+\dfrac{y}{x+7}=1$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ tam sayı ikilisi vardır?

a) $18$ b) $17$ c) $15$ d) $14$ e) $11$

$1 \le n \le 2010$ koşulunu sağlayan kaç tane $n$ tam sayısı için $1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots+(2n-1)^2-(2n)^2$ sayısı $2010$ ile bölünür?

a) $9$ b) $8$ c) $7$ d) $6$ e) $5$

On tabanına göre tersten yazılımı ile kendisi aynı olup $11$ ile bölünen kaç tane yedi basamaklı pozitif tam sayı vardır?

a) $900$ b) $854$ c) $818$ d) $726$ e) Hiçbiri

$m(\widehat{BAC}) = 90^o$, $|AB| = 1$ ve $|AC| = \sqrt{2}$ olan bir $ABC$ üçgeniyle aynı düzlemde yer alan $P$ ve $Q$ noktaları, $|PB| = 1 = |QB|$, $|PC| = 2 = |QC|$ ve $|PA| > |QA|$ koşullarını sağlıyorsa, $|PA|/|QA|$ nedir?

a) $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ b) $5-\sqrt{6}$ c) $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ d) $\sqrt{6}+1$ e) Hiçbiri

$m$ nin aşağıdaki değerlerinden hangisi için $3x^2+4y^2-5z^2 = m$ eşitliğini sağlayan $(x, y, z)$ pozitif tam sayı üçlüsü yoktur?

a) 16 b) 14 c) 12 d) 10 e) 8

Katsayılarının her biri 1 veya $-1$ ve tüm kökleri gerçel sayılar olan bir polinomun derecesi en çok kaç olabilir?

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) Hiçbiri

2010 kişinin yaşadığı bir köyde her ikisi de aynı arkadaş sayısına sahip olan bir tek ikili varsa, bu sayı kaç farklı değer alabilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Hiçbiri

Bir $ABC$ üçgeninin iç açıortaylarının kesişme noktası $I$ ve $[AC]$ kenarına teğet olan dış teğet çemberinin merkezi de $O$ noktasıdır. $|BI| = 12$, $|IO| = 18$ ve $|BC| = 15$ ise, $|AB|$ kaçtır?

a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24

$N = \left[\!\left[ \dfrac{2}{5} \right]\!\right] + \left[\!\left[ \dfrac{2^2}{5} \right]\!\right] + \cdots + \left[\!\left[ \dfrac{2^{2009}}{5} \right]\!\right]$ ise, $2^{2010}$ un $N$ ile bölümünden kalan nedir?

a) 5034 b) 5032 c) 5031 d) 5028 e) 5024

Aşağıdaki $(A, B)$ ikililerinden hangisi için

$$\begin{aligned} x^2 + xy + y &= A \\ \frac{y}{y - x} &= B \end{aligned}$$

denklem sisteminin gerçel çözümü yoktur?

a) $(1/2, 2)$ b) $(-1, 1)$ c) $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ d) $(1, 1/2)$ e) $(2, 2/3)$

1001 kişilik bir okulda herhangi üç öğrenciden en az ikisi arkadaştır. Bu okulda en çok arkadaşa sahip olan öğrencilerden birinin arkadaş sayısı, $334, 412, 450, 499$ değerlerinden kaçını alabilir?

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) Hiçbiri

$m(\widehat{ABC}) = 90^o$ ve $|AC| = 10$ olan bir $ABC$ üçgeninde $[AC]$ kenarının orta noktası $D$ olmak üzere, $[AD]$ ve $[BD]$ nin orta dikmeleri $E$ noktasında, $[BD]$ ve $[CD]$ nin orta dikmeleri de $F$ noktasinda kesişiyor. $|EF| = 13$ ise, $|AB|$ aşağıdaki değerlerden hangisini alabilir?

a) $20\sqrt{\dfrac{2}{13}}$ b) $15\sqrt{\dfrac{2}{13}}$ c) $10\sqrt{\dfrac{2}{13}}$ d) $5\sqrt{\dfrac{2}{13}}$ e) Hiçbiri

Aşağıdaki sayılardan hangisi $2^{2^{2010}} + 2^{2^{2009}} + 1$ sayısını böler?

a) 19 b) 17 c) 13 d) 11 e) Hiçbiri

Aşağıdaki ifadelerden hangisi, $0 < x < 1$ ve $0 < y < 1$ koşullarını sağlayan tüm $x, y$ gerçel sayıları için $x^3 + y^5$ ten küçük değildir?

a) $x^2y$ b) $x^2y^2$ c) $x^2y^3$ d) $x^3y$ e) $xy^4$

Başlangıçta $n \times n$ bir satranç tahtasının yalnızca sol alt köşesinde bir taş bulunuyor. Oyuncular sırayla hamle yaparak, her hamlede taşı bulunduğu karenin hemen sağındaki, hemen üstündeki veya hemen sağ üst çaprazındaki kareye kaydırıyorlar. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun, $6 \times 7$, $6 \times 8$, $7 \times 7$, $7 \times 8$ ve $8 \times 8$ tahtalarda birer kez oynanırsa, bu oyunlardan kaçını ilk hamleyi yapan oyuncu kazanmayı garanti edebilir?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Hiçbiri