OIM 2024 Problem 5

Seja $n \geq 2$ um inteiro e sejam $a_1, \ldots, a_n$ inteiros positivos fixos (não necessariamente distintos) de maneira que nenhum inteiro maior que 1 divida todos eles. Num quadro estão escritos os números $a_1, \ldots, a_n$ junto com um inteiro positivo $x$. Um movimento consiste em escolher dois números $a > b$ dos $n+1$ números do quadro e trocá-los por $a-b$ e $2b$. Encontre todos os valores possíveis de $x$, em função de $a_1, \ldots, a_n$, para os quais é possível obter que, após um número finito de movimentos (possivelmente nenhum), todos os números escritos no quadro sejam iguais.