OBM 2019 Problem 4

Prove que para todo inteiro positivo $m$, existe um inteiro positivo $n_m$ tal que para todo inteiro positivo $n \geq n_m$, existem inteiros positivos (não necessariamente distintos) $a_1, a_2, \ldots, a_n$ tais que

$$\frac{1}{a_1^m} + \frac{1}{a_2^m} + \ldots + \frac{1}{a_n^m} = 1.$$