OIM 2024

Para cada inteiro positivo $n$, designamos por $d(n)$ o número de divisores positivos de $n$. Demonstre que para todo par de inteiros positivos $(a,b)$ se verifica que

$$d(a) + d(b) \leq d(\text{mdc}(a,b)) + d(\text{mmc}(a,b))$$

e determine os pares de inteiros positivos $(a,b)$ para os quais se verifica a igualdade.

Nota: $\text{mdc}(a,b)$ é o máximo divisor comum de $a$ e $b$, e $\text{mmc}(a,b)$ é o mínimo múltiplo comum de $a$ e $b$.

Seja $ABC$ um triângulo acutângulo e sejam $M$ e $N$ os pontos médios de $AB$ e $AC$, respectivamente. Dado um ponto $D$ no interior do segmento $BC$ com $DB < DC$, sejam $P$ e $Q$ as interseções de $DM$ e $DN$ com $AC$ e $AB$, respectivamente. Seja $R \neq A$ a interseção do circuncírculo do triângulo $PAQ$ com o circuncírculo do triângulo $NAM$. Se $K$ é o ponto médio de $AR$, demonstre que $\angle MKN = 2\angle BAC$.

Seja $O$ um ponto fixo no plano. Temos 2024 pontos vermelhos, 2024 pontos amarelos e 2024 pontos verdes no plano, em que não há três pontos colineares e todos são distintos de $O$. Sabe-se que para quaisquer duas cores, a envoltória convexa dos pontos destas cores contém $O$ (nos seus lados ou interior). Dizemos que um ponto vermelho, um ponto amarelo e um ponto verde formam um triângulo boliviano se esse triângulo contém o ponto $O$ (nos seus lados ou interior). Determine o maior inteiro positivo $k$ tal que, sem importar como se coloquem os pontos, sempre há pelo menos $k$ triângulos bolivianos.

Nota: A envoltória convexa de um conjunto finito $S$ de pontos no plano, é aquele polígono convexo que contém todos os pontos de $S$ (nos seus lados ou interior) e cujos vértices são todos pontos de $S$.

Colorimos de vermelho alguns pontos do plano de maneira que se $P$ e $Q$ são dois pontos vermelhos, e $X$ é um ponto tal que o triângulo $PQX$ tem ângulos de $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ (em alguma ordem), então $X$ também é vermelho. Se os vértices $A, B$ e $C$ de um triângulo são todos vermelhos, demonstre que o baricentro do triângulo $ABC$ também é vermelho.

Nota: O baricentro de um triângulo é o ponto de interseção das suas medianas.

Seja $n \geq 2$ um inteiro e sejam $a_1, \ldots, a_n$ inteiros positivos fixos (não necessariamente distintos) de maneira que nenhum inteiro maior que 1 divida todos eles. Num quadro estão escritos os números $a_1, \ldots, a_n$ junto com um inteiro positivo $x$. Um movimento consiste em escolher dois números $a > b$ dos $n+1$ números do quadro e trocá-los por $a-b$ e $2b$. Encontre todos os valores possíveis de $x$, em função de $a_1, \ldots, a_n$, para os quais é possível obter que, após um número finito de movimentos (possivelmente nenhum), todos os números escritos no quadro sejam iguais.

Determine todos os conjuntos infinitos $A$ de inteiros positivos com a seguinte propriedade: se $a, b \in A$ e $a \geq b$, então $\left\lfloor \frac{a}{b} \right\rfloor \in A$.

Nota: $\lfloor x \rfloor$ designa o maior inteiro menor ou igual que $x$.