OIM 2024 Problem 4

Colorimos de vermelho alguns pontos do plano de maneira que se $P$ e $Q$ são dois pontos vermelhos, e $X$ é um ponto tal que o triângulo $PQX$ tem ângulos de $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ (em alguma ordem), então $X$ também é vermelho. Se os vértices $A, B$ e $C$ de um triângulo são todos vermelhos, demonstre que o baricentro do triângulo $ABC$ também é vermelho.

Nota: O baricentro de um triângulo é o ponto de interseção das suas medianas.