OBM 2024 Problem 1

Seja $a_1$ um inteiro maior ou igual a 2. Considere a sequência tal que o seu primeiro termo é $a_1$ e, sendo $a_n$ o $n$-ésimo termo da sequência, vale que

$$a_{n+1} = \frac{a_n}{p_k^{e_k-1}} + 1,$$

em que $p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$ é a fatoração em primos de $a_n$, com $1 < p_1 < p_2 < \cdots < p_k$ e $e_1, e_2, \ldots, e_k$ inteiros positivos. Por exemplo, se $a_1 = 2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23$, os próximos dois termos da sequência são

$$a_2 = \frac{a_1}{23^{1-1}} + 1 = \frac{2024}{1} + 1 = 2025 = 3^4 \cdot 5^2;$$

$$a_3 = \frac{a_2}{5^{2-1}} + 1 = \frac{2025}{5} + 1 = 406.$$

Determine para quais valores de $a_1$ a sequência é eventualmente periódica e quais são todos os possíveis períodos.

Observação: Sendo $p$ um inteiro positivo, uma sequência $x_1, x_2, \ldots$ é eventualmente periódica com período $p$ se $p$ é o menor inteiro positivo para o qual existe um $N \geq 0$ satisfazendo $x_{n+p} = x_n$ para todo $n > N$.