CONO-SUR 2023 Problem 5

Sejam $ABC$ um triângulo acutângulo e $D, E, F$ os pontos médios de $BC, CA, AB$, respectivamente. A circunferência de diâmetro $AD$ intersecta pela segunda vez as retas $AB$ e $AC$ nos pontos $P$ e $Q$, respectivamente. A paralela a reta $BC$ por $P$ intersecta $DE$ no ponto $R$ e a paralela a reta $BC$ por $Q$ intersecta $DF$ no ponto $S$. A circunferência circunscrita de $DPR$ intersecta novamente $AB$ em $X$, a circunferência circunscrita de $DQS$ intersecta novamente $AC$ em $Y$, e estas duas circunferências se intersectam novamente no ponto $Z$. Prove que $Z$ é o ponto médio de $XY$.