CONO-SUR 2023 Problem 6

Sejam $x_1, x_2, \ldots, x_n$ números reais positivos. Para cada inteiro positivo $k$, seja

$$S_k = x_1^k + x_2^k + \ldots + x_n^k.$$

(a) Prove que se $S_1 < S_2$ então a sequência $S_1, S_2, S_3, \ldots$ é estritamente crescente.

(b) Prove que existem $n$ e números positivos $x_1, x_2, \ldots, x_n$ tais que $S_1 > S_2$ e a sequência $S_1, S_2, S_3, \ldots$ não é estritamente decrescente.