CONO-SUR 2023

Uma lista de $n$ números inteiros positivos $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ é dita buena caso se verifique simultaneamente:

• $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < a_n$,
• $a_1 + a_2^2 + a_3^3 + \ldots + a_n^n \leq 2023$.

Para cada $n \geq 1$, determine quantas listas buenas de $n$ números existem.

Observação: $a_k^k = \underbrace{a_k \cdot a_k \cdot \ldots \cdot a_k}_{k \text{ vezes}}$.

Um plano é quadriculado em um tabuleiro infinito. Em cada casa deste tabuleiro há uma lâmpada, inicialmente apagada. Uma operação permitida consiste em escolher um quadrado de $3 \times 3$, $4 \times 4$ ou $5 \times 5$ casas e trocar de estado todas as lâmpadas desse quadrado (as que estão apagadas se tornam acessas e as que estão acessas se tornam apagadas).

(a) Prove que para qualquer conjunto finito de lâmpadas é possível, mediante uma sequência finita de operações permitidas, que essas sejam as únicas lâmpadas acessas do tabuleiro.

(b) Prove que se em uma sequência de operações permitidas só se usar dois três tamanhos de quadrados, então é impossível que ao final as únicas lâmpadas acessas do tabuleiro sejam as de um quadrado de $2 \times 2$ casas.

Em um semiplano, delimitado por uma reta $r$, temos triângulos equiláteros $S_1, S_2, \ldots, S_n$ cada um deles com um lado paralelo a $r$, e cujo vértice oposto é o ponto do triângulo mais distante a $r$.

Para cada triângulo $S_i$, seja $T_i$ seu triângulo medial. Sejam $S$ a região coberta pelos triângulos $S_1, S_2, \ldots, S_n$ e $T$ a região coberta pelos triângulos $T_1, T_2, \ldots, T_n$.

Prove que $$\text{área}(S) \leq 4 \cdot \text{área}(T).$$

Observação: O triângulo medial de um triângulo $ABC$ é aquele cujos vértices são os pontos médios dos lados $AB, BC$ e $CA$.

Consideramos a sequência de números inteiros definida por $a_1 = 1, a_2 = 2$, e para cada $n \geq 2$, $a_{n+1}$ é o maior divisor primo de $a_1 + a_2 + \ldots + a_n$. Calcule $a_{100}$.

Sejam $ABC$ um triângulo acutângulo e $D, E, F$ os pontos médios de $BC, CA, AB$, respectivamente. A circunferência de diâmetro $AD$ intersecta pela segunda vez as retas $AB$ e $AC$ nos pontos $P$ e $Q$, respectivamente. A paralela a reta $BC$ por $P$ intersecta $DE$ no ponto $R$ e a paralela a reta $BC$ por $Q$ intersecta $DF$ no ponto $S$. A circunferência circunscrita de $DPR$ intersecta novamente $AB$ em $X$, a circunferência circunscrita de $DQS$ intersecta novamente $AC$ em $Y$, e estas duas circunferências se intersectam novamente no ponto $Z$. Prove que $Z$ é o ponto médio de $XY$.

Sejam $x_1, x_2, \ldots, x_n$ números reais positivos. Para cada inteiro positivo $k$, seja

$$S_k = x_1^k + x_2^k + \ldots + x_n^k.$$

(a) Prove que se $S_1 < S_2$ então a sequência $S_1, S_2, S_3, \ldots$ é estritamente crescente.

(b) Prove que existem $n$ e números positivos $x_1, x_2, \ldots, x_n$ tais que $S_1 > S_2$ e a sequência $S_1, S_2, S_3, \ldots$ não é estritamente decrescente.