OBM 2025 Problem 4

Para todo $n$ inteiro positivo, defina

$$f(n) = \left\lfloor \sqrt{1} \right\rfloor + \left\lfloor \sqrt{2} \right\rfloor + \cdots + \left\lfloor \sqrt{n} \right\rfloor.$$

Determine todos os inteiros positivos $k$ tais que existe um inteiro positivo $n$ satisfazendo $f(n) = nk$.

Observação: para um número real $x$, define-se $\lfloor x \rfloor$ como o maior inteiro que é menor ou igual a $x$. Por exemplo, $\left\lfloor \sqrt{1} \right\rfloor = \lfloor 1 \rfloor = 1$, $\left\lfloor \sqrt{2} \right\rfloor = 1$ e $\left\lfloor \sqrt{14} \right\rfloor = 3$.