OBM 2025

Prove que existe um inteiro positivo $n$ e $2n$ números reais não negativos

$$0 \le a_1 \le a_2 \le a_3 \le \ldots \le a_n \quad \text{e} \quad 0 \le b_1 \le b_2 \le b_3 \le \ldots \le b_n$$

satisfazendo as três propriedades a seguir:

(i) $a_1 + a_2 + \cdots + a_n \ge 2025^{2025}$;

(ii) $b_1 + b_2 + \cdots + b_n \ge 2025^{2025}$;

(iii) $c_1 + c_2 + \cdots + c_n \le \dfrac{1}{2025^{2025}}$, onde $c_i = \min\{a_i, b_i\}$ para todo $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$.

Além disso, encontre o menor inteiro positivo $n$ com tal propriedade.

Seja $ABC$ um triângulo acutângulo com $AB < AC$ e seja $\Gamma$ sua circunferência circunscrita. Defina $M$ como o ponto médio do lado $BC$, e $D$, $E$ e $F$ como os pés das alturas relativas aos lados $BC$, $AC$ e $AB$, respectivamente. Tome o ponto $N$ como a interseção de $EF$ e $AM$. Sejam $R$, $S$ as interseções de $EF$ e $\Gamma$, de forma que $R$ esteja no arco menor $AB$ de $\Gamma$ e $S$ esteja no arco menor $AC$ de $\Gamma$. Além disso, suponha que $BS$ e $CR$ se encontram no ponto $T$. Mostre que $DA$ é bissetriz do ângulo $\angle TDN$.

Seja $(a_n)_{n\ge 1}$ uma sequência infinita de inteiros positivos tal que

(i) $a_1, a_2, \ldots, a_{10000}$ são inteiros positivos distintos dois a dois;

(ii) para $n > 10000$, define-se $a_n$ como o menor inteiro positivo diferente de $a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}$ tal que $|a_n - a_{n-1}|$ é uma potência de 2025 (note que 1 é uma potência de 2025).

Prove que todo inteiro positivo aparece na sequência.

Para todo $n$ inteiro positivo, defina

$$f(n) = \left\lfloor \sqrt{1} \right\rfloor + \left\lfloor \sqrt{2} \right\rfloor + \cdots + \left\lfloor \sqrt{n} \right\rfloor.$$

Determine todos os inteiros positivos $k$ tais que existe um inteiro positivo $n$ satisfazendo $f(n) = nk$.

Observação: para um número real $x$, define-se $\lfloor x \rfloor$ como o maior inteiro que é menor ou igual a $x$. Por exemplo, $\left\lfloor \sqrt{1} \right\rfloor = \lfloor 1 \rfloor = 1$, $\left\lfloor \sqrt{2} \right\rfloor = 1$ e $\left\lfloor \sqrt{14} \right\rfloor = 3$.

Seja $\mathcal{P}$ um polígono convexo de $n$ vértices, $n \geq 4$. Podemos particionar $\mathcal{P}$ em triângulos, traçando diagonais que não se intersectam no interior de $\mathcal{P}$. Uma partição desse tipo é chamada de triangulação. Um conjunto $X$ de diagonais de $\mathcal{P}$ é dito obstrutivo se tem a seguinte propriedade:

Qualquer triangulação de $\mathcal{P}$ utiliza ao menos uma diagonal que pertence ao conjunto $X$.

Determine, em função de $n$, qual é a menor quantidade possível de elementos de um conjunto obstrutivo.

Seja $ABCD$ um quadrilátero convexo satisfazendo $90^\circ > \angle ABC > \angle CDA > \angle DAB$. Seja $\mathcal{R}$ o conjunto de todas as retas $\ell$ tais que existe uma circunferência tangente às quatro reflexões de $\ell$ pelos quatro lados do quadrilátero $ABCD$. Prove que $\mathcal{R}$ pode ser particionado em 8 conjuntos de modo que as retas de cada conjunto sejam todas concorrentes ou todas paralelas.