OBM 2026 Problem 4

Para $n$ inteiro positivo, defina

$$f(n) = \left\lfloor \sqrt{(n+1)^3} \right\rfloor - \left\lfloor \sqrt{n^3} \right\rfloor.$$

Prove que existem infinitos inteiros positivos $n$ tais que $f(n+1) < f(n)$.

Observação: para um número real $x$, define-se $\lfloor x \rfloor$ como o maior inteiro que é menor ou igual a $x$. Por exemplo, $\left\lfloor \sqrt{1} \right\rfloor = \lfloor 1 \rfloor = 1$, $\left\lfloor \sqrt{2} \right\rfloor = 1$ e $\left\lfloor \sqrt{14} \right\rfloor = 3$.