OBM 2025 Problem 3

Seja $(a_n)_{n\ge 1}$ uma sequência infinita de inteiros positivos tal que

(i) $a_1, a_2, \ldots, a_{10000}$ são inteiros positivos distintos dois a dois;

(ii) para $n > 10000$, define-se $a_n$ como o menor inteiro positivo diferente de $a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}$ tal que $|a_n - a_{n-1}|$ é uma potência de 2025 (note que 1 é uma potência de 2025).

Prove que todo inteiro positivo aparece na sequência.