OBM 2023 Problem 6

Para $k$ inteiro positivo, seja $p(k)$ o menor primo que não divide $k$. Dado um inteiro positivo $a$, defina a sequência infinita $a_0, a_1, \ldots$ por $a_0 = a$ e, para $n > 0$, $a_n$ é o menor inteiro positivo com as seguintes propriedades:

• $a_n$ ainda não apareceu na sequência, ou seja, $a_n \neq a_i$ para $0 \leq i < n$;
• $(a_{n-1})^{a_n} - 1$ é múltiplo de $p(a_{n-1})$.

Prove que todo inteiro positivo aparece como termo da sequência, ou seja, para todo inteiro positivo $m$ existe $n$ tal que $a_n = m$.