OBM 2019 Problem 3

Seja $\mathbb{R}_{>0}$ o conjunto dos números reais positivos. Determine todas as funções $f : \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$ tais que

$$f(xy + f(x)) = f(f(x)f(y)) + x$$

para todos os reais positivos $x$ e $y$.