OBM 2019

Sejam $\omega_1$ e $\omega_2$ duas circunferências de centros $C_1$ e $C_2$, respectivamente, que se cortam em dois pontos $P$ e $Q$. Suponha que a circunferência circunscrita ao triângulo $PC_1C_2$ intersecte $\omega_1$ novamente em $A \neq P$ e $\omega_2$ novamente em $B \neq P$. Suponha ainda que $Q$ está no interior do triângulo $PAB$. Demonstre que $Q$ é o incentro do triângulo $PAB$.

São dadas a reta real e os únicos pontos marcados 0 e 1. Podemos realizar quantas vezes quisermos a seguinte operação: tomamos dois pontos já marcados $a$ e $b$ e marcamos o simétrico de $a$ com relação a $b$. Seja $f(n)$ a quantidade mínima de operações necessárias para marcar na reta real o número $n$ (que é o número a uma distância $|n|$ do 0 e está à direita de 0 se $n > 0$ e à esquerda de 0 se $n < 0$). Por exemplo, $f(0) = f(1) = 0$ e $f(-1) = f(2) = 1$. Encontre $f(n)$.

Seja $\mathbb{R}_{>0}$ o conjunto dos números reais positivos. Determine todas as funções $f : \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$ tais que

$$f(xy + f(x)) = f(f(x)f(y)) + x$$

para todos os reais positivos $x$ e $y$.

Prove que para todo inteiro positivo $m$, existe um inteiro positivo $n_m$ tal que para todo inteiro positivo $n \geq n_m$, existem inteiros positivos (não necessariamente distintos) $a_1, a_2, \ldots, a_n$ tais que

$$\frac{1}{a_1^m} + \frac{1}{a_2^m} + \ldots + \frac{1}{a_n^m} = 1.$$

(a) Prove que dadas constantes $a, b$ com $1 < a < 2 < b$, não existe partição do conjunto dos inteiros positivos em dois subconjuntos $A_0, A_1$ tal que: se $j \in \{0,1\}$ e $m, n$ pertencem a $A_j$, então $n/m < a$ ou $n/m > b$.

(b) Determine todos os pares de reais $(a, b)$ com $1 < a < 2 < b$ para os quais vale a seguinte propriedade: existe uma partição do conjunto dos inteiros positivos em três subconjuntos $A_0, A_1, A_2$ tal que se $j \in \{0,1,2\}$ e $m, n$ pertencem a $A_j$, então $n/m < a$ ou $n/m > b$.

Observação: Uma partição de um conjunto é escrever tal conjunto como união de subconjuntos disjuntos dois a dois.

Seja $A_1A_2A_3A_4A_5$ um pentágono convexo inscritível com $\angle A_i + \angle A_{i+1} > 180^\circ$ para $i = 1, 2, 3, 4, 5$, (índices módulo 5 em todo o problema). Defina $B_i$ como a interseção das retas $A_{i-1}A_i$ e $A_{i+1}A_{i+2}$, formando uma estrela. Os circuncírculos dos triângulos $A_{i-1}B_{i-1}A_i$ e $A_iB_iA_{i+1}$ se cortam novamente em $C_i \neq A_i$, e os circuncírculos dos triângulos $B_{i-1}A_iB_i$ e $B_iA_{i+1}B_{i+1}$ se cortam novamente em $D_i \neq B_i$. Prove que as dez retas $A_iC_i$, $B_iD_i$, $i = 1, 2, 3, 4, 5$, têm um ponto em comum.