OBM 2019 Problem 5

(a) Prove que dadas constantes $a, b$ com $1 < a < 2 < b$, não existe partição do conjunto dos inteiros positivos em dois subconjuntos $A_0, A_1$ tal que: se $j \in \{0,1\}$ e $m, n$ pertencem a $A_j$, então $n/m < a$ ou $n/m > b$.

(b) Determine todos os pares de reais $(a, b)$ com $1 < a < 2 < b$ para os quais vale a seguinte propriedade: existe uma partição do conjunto dos inteiros positivos em três subconjuntos $A_0, A_1, A_2$ tal que se $j \in \{0,1,2\}$ e $m, n$ pertencem a $A_j$, então $n/m < a$ ou $n/m > b$.

Observação: Uma partição de um conjunto é escrever tal conjunto como união de subconjuntos disjuntos dois a dois.