TR-MO 2013 Problem 2

$m$ pozitif bir tam sayı olsun.

a. $1+km^3$ sayısının bir tam küp olmasını ve $1+kn^3$ sayılarının hiçbir $n<m$ pozitif tam sayısı için bir tam küp olmamasını sağlayan sonsuz çoklukta $k$ pozitif tam sayısı bulunduğunu kanıtlayınız.

b. $p \equiv 2 \pmod 3$ koşulunu sağlayan bir $p$ asal sayısı ve bir $r$ pozitif tam sayısı için, $m = p^r$ ise, (a) kısmındaki koşulu sağlayan tüm $k$ pozitif tam sayılarını bulunuz.