TR-MO 2013

$[AB]$ çaplı bir $\omega_1$ çemberi ile $A$ merkezli bir $\omega_2$ çemberi $C$ ve $D$ noktalarında kesişiyor. $\omega_2$ çemberinin üstünde, $\omega_1$ çemberinin dışında ve $AB$ doğrusuna göre $C$ ile aynı tarafta yer alan bir $E$ noktası için, $BE$ doğrusu $\omega_2$ çemberini ikinci kez $F$ noktasında kesiyor. $\omega_1$ çemberinin üstünde ve bu çemberin $C$ den geçen çapına göre $A$ ile aynı tarafta olan bir $K$ noktası $2\,|CK|\cdot|AC| = |CE|\cdot|AB|$ koşulunu sağlıyor. $KF$ doğrusu $\omega_1$ çemberini ikinci kez $L$ noktasında kesiyor.

$D$ noktasının $BE$ doğrusuna göre simetriğinin, $L$, $F$ ve $C$ noktalarından geçen çemberin üstünde olduğunu kanıtlayınız.

$m$ pozitif bir tam sayı olsun.

a. $1+km^3$ sayısının bir tam küp olmasını ve $1+kn^3$ sayılarının hiçbir $n<m$ pozitif tam sayısı için bir tam küp olmamasını sağlayan sonsuz çoklukta $k$ pozitif tam sayısı bulunduğunu kanıtlayınız.

b. $p \equiv 2 \pmod 3$ koşulunu sağlayan bir $p$ asal sayısı ve bir $r$ pozitif tam sayısı için, $m = p^r$ ise, (a) kısmındaki koşulu sağlayan tüm $k$ pozitif tam sayılarını bulunuz.

$n$ hava yolu şirketinin ve $100$ kentin bulunduğu bir ülkedeki kentlerden bazıları arasında karşılıklı olarak toplam $2013$ uçak seferi yapılıyor. Bu seferleri kullanarak bu kentlerden herhangi birinden bir diğerine gitmek olanaklı olup, birinden diğerine doğrudan veya tek aktarma ile gidilemeyen en az iki kent bulunmaktadır. Bu ülkedeki herhangi iki kent arasında tek bir şirketin uçuşlarını kullanarak gitmek mümkünse, $n$ nin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.

$2^n + n = m!$ eşitliğini sağlayan tüm $(m, n)$ pozitif tam sayı ikililerini belirleyiniz.

Tüm $a$, $b$, $c$ pozitif gerçel sayıları için,

$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \geq M(ab^2 + bc^2 + ca^2 - 3abc)$$

olmasını sağlayan en büyük $M$ gerçel sayısını belirleyiniz.

Düzlemde yer alan ve aralarındaki uzaklıklar pozitif tam sayılar olan $P_1, P_2, \ldots, P_n$ noktalarından her biri için, diğer noktaların bu noktaya olan uzaklıkları azalmayacak biçimde sıralandığında oluşan dizi hep aynı ise, $n$ nin alabileceği tüm değerleri belirleyiniz.