TR-MO 2009 Problem 4

Dar açılı bir $ABC$ üçgenin diklik merkezi $H$ ve, $A$, $B$, $C$ köşelerine ait yüksekliklerinin ayakları da, sırasıyla $A_1$, $B_1$, $C_1$ dir. $K$, $[AB]$ çaplı çemberin küçük $AB_1$ yayı üstünde yer alan ve $m(\widehat{HKB}) = m(\widehat{C_1KB})$ koşulunu sağlayan bir nokta ve $[KB] \cap [CC_1] = \{L\}$ olmak üzere; $C$ merkezli ve $[CL]$ yarıçaplı çember $[AA_1]$ i $M$ noktasında kesiyor. $B$ merkezli ve $[BM]$ yarıçaplı çemberin $CC_1$ doğrusunu kestiği noktalar $P$ ve $Q$ ise, $A$, $K$, $P$ ve $Q$ noktalarının çemberdeş olduğunu kanıtlayınız.