TR-MO 2009

$p^3-4p+9$ un tam kare olmasını sağlayan tüm $p$ asal sayılarını bulunuz.

$\Gamma$, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi; $D$ ve $E$ de, sırasıyla $[AB]$ ve $[AC]$ kenarları üstünde köşelerden farklı noktalar olsun. $A'$, $\widehat{BAC}$ nin açıortayının $\Gamma$ yı ikinci kez kestiği nokta; $P$ ve $Q$ da, sırasıyla $A'D$ ve $A'E$ doğrularının $\Gamma$ yı ikinci kez kestiği noktalar olsun. $R$ ve $S$, sırasıyla $APD$ ve $AQE$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin $AA'$ doğrusunu ikinci kez kestikleri noktalar ise; $DS$ ve $ER$ doğrularının, $\Gamma$ ya $A$ da teğet olan doğru üstünde bir noktada kesiştiğini gösteriniz.

Bir beldenin Elektrik İşleri görevlisi Ahmet, $k$ gün boyunca her gün, ya seçtiği bir direkle yine kendisinin seçtiği istediği sayıda direk arasına birer tel bağlıyor, ya da en çok 17 direk ikilisi seçip her ikiliye ait direkler arasına birer tel bağlıyor. Beldenin Boya İşleri görevlisi Berna da, beldede kaç direk olursa olsun ve Ahmet telleri nasıl bağlarsa bağlasın, beldedeki tüm direklerin en çok 2009 renk kullanarak ve aralarına tel bağlanmış herhangi iki direk aynı renkte olmayacak biçimde boyanabileceğini iddia ediyor. $k$ nin, Berna'nın iddiasının doğru olmasını sağlayan en büyük değerini belirleyiniz.

Dar açılı bir $ABC$ üçgenin diklik merkezi $H$ ve, $A$, $B$, $C$ köşelerine ait yüksekliklerinin ayakları da, sırasıyla $A_1$, $B_1$, $C_1$ dir. $K$, $[AB]$ çaplı çemberin küçük $AB_1$ yayı üstünde yer alan ve $m(\widehat{HKB}) = m(\widehat{C_1KB})$ koşulunu sağlayan bir nokta ve $[KB] \cap [CC_1] = \{L\}$ olmak üzere; $C$ merkezli ve $[CL]$ yarıçaplı çember $[AA_1]$ i $M$ noktasında kesiyor. $B$ merkezli ve $[BM]$ yarıçaplı çemberin $CC_1$ doğrusunu kestiği noktalar $P$ ve $Q$ ise, $A$, $K$, $P$ ve $Q$ noktalarının çemberdeş olduğunu kanıtlayınız.

Tüm $a$, $b$, $c$, pozitif gerçel sayıları için,

$$\frac{(b+c)(a^4-b^2c^2)}{ab+2bc+ca} + \frac{(c+a)(b^4-c^2a^2)}{bc+2ca+ab} + \frac{(a+b)(c^4-a^2b^2)}{ca+2ab+bc} \geq 0$$

olduğunu gösteriniz.

$1 < k_1 < k_2 < \cdots < k_n$ ve $a_1, a_2, \ldots, a_n$ tam sayılar olmak üzere; her $N$ tam sayısı için, $k_i \mid N - a_i$ olacak biçimde en az bir $1 \leq i \leq n$ bulunuyorsa, $n$ nin alabileceği en küçük değeri belirleyiniz.