CONO-SUR 2024 Problem 2

Sejam $ABC$ um triângulo e $A_1$ e $A_2$ pontos sobre o lado $BC, B_1$ e $B_2$ pontos sobre o lado $CA$ e $C_1$ e $C_2$ pontos sobre o lado $AB$, de modo que $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ seja um hexágono convexo e $B, A_1, A_2$ e $C$ estejam, nessa ordem, situados sobre o lado $BC$.

Dizemos que os triângulos $AB_2C_1, BA_1C_2$ e $CA_2B_1$ são coláveis se existirem um triângulo $PQR$ e pontos $X, Y$ e $Z$ sobre os lados $QR, RP$ e $PQ$, respectivamente, tais que $AB_2C_1$ seja congruente a $PYZ$ nessa ordem, $BA_1C_2$ seja congruente a $QXZ$ nessa ordem e $CA_2B_1$ seja congruente a $RXY$ nessa ordem.

Prove que os triângulos $AB_2C_1, BA_1C_2$ e $CA_2B_1$ são coláveis se, e somente se, os baricentros de $A_1B_1C_1$ e de $A_2B_2C_2$ coincidirem.

Nota: o triângulo $FGH$ é congruente ao triângulo $IJK$ nessa ordem se $FG = IJ, GH = JK$ e $HF = KI$.