OBM 2026 Problem 1

Seja $ABC$ um triângulo tal que $\angle BAC = 60^\circ$ e $AB < AC$. Sejam $O$ e $I$ o circuncentro e o incentro do triângulo $ABC$, respectivamente, e seja $T$ o ortocentro do triângulo $BIC$.

a) Prove que os quatro pontos $B$, $C$, $O$ e $I$ pertencem a uma mesma circunferência.

b) Prove que as retas $BC$, $OI$ e $AT$ possuem um ponto em comum.

Observação: o incentro de um triângulo é o encontro das bissetrizes de seus ângulos internos, o circuncentro de um triângulo é o encontro das mediatrizes de seus lados e o ortocentro de um triângulo é o encontro das suas alturas.