CONO-SUR 2025 Problem 1

Dado um quadrado $ABCD$, seja $P$ um ponto no segmento $BC$ e seja $G$ o ponto de interseção de $AP$ com a diagonal $DB$. A reta perpendicular ao segmento $AP$ por $G$ corta o lado $CD$ no ponto $E$. Seja $K$ o ponto no segmento $GE$ tal que $AK = PE$. Seja $Q$ o ponto de interseção da diagonal $AC$ com o segmento $KP$.

Demonstre que os pontos $E, K, Q$ e $C$ pertencem a uma mesma circunferência.