OMCPLP 2025 Problem 5

Em um triângulo $ABC$, $M$ é o ponto médio do lado $AC$ e $H$ é o ponto de interseção da reta perpendicular a $AB$ traçada por $C$ com o segmento $AB$. Prove que $CH$ passa pelo ponto médio do segmento $BM$ se, e somente se

$$3AC^2 = 3BC^2 + AB^2.$$