CONO-SUR 2025

Dado um quadrado $ABCD$, seja $P$ um ponto no segmento $BC$ e seja $G$ o ponto de interseção de $AP$ com a diagonal $DB$. A reta perpendicular ao segmento $AP$ por $G$ corta o lado $CD$ no ponto $E$. Seja $K$ o ponto no segmento $GE$ tal que $AK = PE$. Seja $Q$ o ponto de interseção da diagonal $AC$ com o segmento $KP$.

Demonstre que os pontos $E, K, Q$ e $C$ pertencem a uma mesma circunferência.

Dizemos que um par de inteiros positivos $(n,m)$ é minuano se ele cumpre as duas condições a seguir:

• $n$ tem uma quantidade par de divisores positivos.
• Se $d_1,d_2,\ldots,d_{2k}$ são todos os divisores positivos de $n$, com $1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_{2k} = n$, então todos os divisores positivos de $m$ são

$$1, d_1 + d_2, d_3 + d_4, d_5 + d_6, \ldots, d_{2k-1} + d_{2k}.$$

Encontre todos os pares minuanos.

Em cada casinha de um tabuleiro $4 \times 11$ está escrito o número 1. Um movimento consiste em escolher um inteiro positivo $k$ e uma casinha, e multiplicar por $k$ os números escritos na casinha escolhida e em suas vizinhas. É possível que, depois de uma quantidade finita de movimentos, em cada casinha do tabuleiro esteja escrito o número $2025^{2026}$?

Nota: Duas casinhas são vizinhas se compartilham um lado.

Lucero e Pablo jogam no tabuleiro da figura. Lucero joga primeiro e eles jogam alternadamente. Em cada turno, o jogador escolhe um dos círculos não pintados da linha inferior e o pinta de azul, verde ou roxo. E assim segue até completar a linha inferior em 4 turnos.

Depois, o resto do tabuleiro é pintado de acordo com as seguintes regras:

• Se dois círculos adjacentes em uma linha são da mesmo cor, o círculo superior adjacente a esses círculos é pintado da mesma cor.

• Se dois círculos adjacentes em uma linha são de cores distintas, o círculo superior adjacente a esses círculos é pintado da terceira cor.

Se repete este procedimento até que todos os círculos do tabuleiro estejam pintados. Lucero ganha se o círculo superior está pintado de roxo ou verde, e Pablo ganha se ele está pintado de azul.

Determine quem tem a estratégia vencedora.

Seja ABCD um quadrilátero convexo de lados AB, BC, CD e DA, com AB > BC, que satisfaz:

$$\angle ABD = 60^\circ, \quad \angle CBD = 60^\circ, \quad \angle ACD = 30^\circ.$$

Prove que $\angle BAC = \angle DAC$.

Sejam $n \geq 2$ e $N = 2^n$. Seja $A_1, A_2, \ldots, A_N$ uma permutação (ordenação) de todos os subconjuntos de $X = \{1, 2, \ldots, n\}$. Determine o maior valor possível de

$$S = \sum_{i=1}^{N} |A_i \cap A_{i+1}| \cdot |A_i \cup A_{i+1}|$$

onde $A_{N+1} = A_1$.

Nota: $|B|$ denota a quantidade de elementos do conjunto $B$.