CONO-SUR 2023 Problem 2

Um plano é quadriculado em um tabuleiro infinito. Em cada casa deste tabuleiro há uma lâmpada, inicialmente apagada. Uma operação permitida consiste em escolher um quadrado de $3 \times 3$, $4 \times 4$ ou $5 \times 5$ casas e trocar de estado todas as lâmpadas desse quadrado (as que estão apagadas se tornam acessas e as que estão acessas se tornam apagadas).

(a) Prove que para qualquer conjunto finito de lâmpadas é possível, mediante uma sequência finita de operações permitidas, que essas sejam as únicas lâmpadas acessas do tabuleiro.

(b) Prove que se em uma sequência de operações permitidas só se usar dois três tamanhos de quadrados, então é impossível que ao final as únicas lâmpadas acessas do tabuleiro sejam as de um quadrado de $2 \times 2$ casas.