CONO-SUR 2023 Problem 3

Em um semiplano, delimitado por uma reta $r$, temos triângulos equiláteros $S_1, S_2, \ldots, S_n$ cada um deles com um lado paralelo a $r$, e cujo vértice oposto é o ponto do triângulo mais distante a $r$.

Para cada triângulo $S_i$, seja $T_i$ seu triângulo medial. Sejam $S$ a região coberta pelos triângulos $S_1, S_2, \ldots, S_n$ e $T$ a região coberta pelos triângulos $T_1, T_2, \ldots, T_n$.

Prove que $$\text{área}(S) \leq 4 \cdot \text{área}(T).$$

Observação: O triângulo medial de um triângulo $ABC$ é aquele cujos vértices são os pontos médios dos lados $AB, BC$ e $CA$.