OIM 2025 Problem 2

Tem-se um tabuleiro de $n \times n$ dividido en $n^2$ casas, com $n \geq 3$. Inicialmente, escolhe-se uma casa onde se colocam $n^2$ moedas. Um movimento consiste em escolher uma casa que contenha, pelo menos, duas moedas e deslocar duas moedas para duas casas que sejam simétricas relativamente à casa escolhida e que tenham, pelo menos, um vértice em comum com ela.

De seguida, mostram-se os quatro tipos de movimentos possíveis:

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4

Se depois de vários movimentos resulta que em cada casa do tabuleiro há exatamente uma moeda, demonstre que o número de movimentos realizados do tipo 3 é igual ao número de movimentos realizados do tipo 4.