OBM 2023 Problem 5

Seja $m$ um inteiro positivo com $m \leq 2024$. Ana e Banana jogam um jogo alternadamente em em um tabuleiro $1 \times 2024$, com quadrados inicialmente pintados de branco. Ana começa o jogo. Cada jogada de Ana consiste em escolher $k \leq m$ quadrados brancos quaisquer do tabuleiro e pintá-los todos de verde. Cada jogada de Banana consiste em escolher qualquer sequência de quadrados verdes consecutivos e pintá-los todos de branco. Qual é o menor valor de $m$ para o qual Ana consegue garantir que, após alguma de suas jogadas, o tabuleiro inteiro estará pintado de verde?