OBM 2023

Exiba uma sequência infinita $a_1, a_2, \ldots$ de inteiros com ambas as seguintes propriedades:

• $a_i \neq 0$ para todo $i$ inteiro positivo, ou seja, nenhum termo da sequência é igual a zero;
• para todo $n$ inteiro positivo, $a_n + a_{2n} + \cdots + a_{2023n} = 0$.

Para ganhar pontos, você deve justificar por que sua sequência tem as duas propriedades acima.

Seja $ABC$ um triângulo retângulo em $B$, com altura $BT$, $T$ sobre a hipotenusa $AC$. Construa os triângulos equiláteros $BTX$ e $BTY$ de modo que $X$ esteja no mesmo semiplano que $A$ com relação a $BT$ no e $Y$ esteja no mesmo semiplano que $C$ com relação a $BT$. O ponto $P$ é a interseção de $AY$ e $CX$. Prove que

$$PA \cdot BC = PB \cdot CA = PC \cdot AB.$$

Seja $n$ um inteiro positivo. A humanidade vai começar a colonizar Marte. As agências SpaceY e SpaceZ serão as responsáveis por fazer as viagens entre os planetas. Para os foguetes não baterem, elas vão realizar viagens de forma alternada, sendo que a SpaceY fará a primeira viagem. Em cada viagem, a agência responsável realizará, conforme for possível, um entre dois tipos de missão:

(i) escolher um inteiro positivo $k$ e levar $k$ pessoas para Marte, criando uma nova colônia no planeta e estabelecendo-as nessa colônia;

(ii) escolher alguma colônia existente em Marte e um inteiro positivo $k$ estritamente menor que a população dessa colônia, e trazer $k$ pessoas dessa colônia de volta para a Terra.

Para manter a organização em Marte, uma missão não pode resultar em duas colônias com a mesma população e a quantidade de colônias deve ser no máximo $n$. A primeira agência que não puder realizar uma missão vai falir. Determine, em função de $n$, qual agência pode garantir que não falirá primeiro.

Sejam $x, y, z$ três números reais distintos tais que

$$\begin{cases} x^2 - x = yz \\ y^2 - y = zx \\ z^2 - z = xy \end{cases}.$$

Prove que $-\frac{1}{3} < x, y, z < 1$.

Seja $m$ um inteiro positivo com $m \leq 2024$. Ana e Banana jogam um jogo alternadamente em em um tabuleiro $1 \times 2024$, com quadrados inicialmente pintados de branco. Ana começa o jogo. Cada jogada de Ana consiste em escolher $k \leq m$ quadrados brancos quaisquer do tabuleiro e pintá-los todos de verde. Cada jogada de Banana consiste em escolher qualquer sequência de quadrados verdes consecutivos e pintá-los todos de branco. Qual é o menor valor de $m$ para o qual Ana consegue garantir que, após alguma de suas jogadas, o tabuleiro inteiro estará pintado de verde?

Para $k$ inteiro positivo, seja $p(k)$ o menor primo que não divide $k$. Dado um inteiro positivo $a$, defina a sequência infinita $a_0, a_1, \ldots$ por $a_0 = a$ e, para $n > 0$, $a_n$ é o menor inteiro positivo com as seguintes propriedades:

• $a_n$ ainda não apareceu na sequência, ou seja, $a_n \neq a_i$ para $0 \leq i < n$;
• $(a_{n-1})^{a_n} - 1$ é múltiplo de $p(a_{n-1})$.

Prove que todo inteiro positivo aparece como termo da sequência, ou seja, para todo inteiro positivo $m$ existe $n$ tal que $a_n = m$.