TR-MO 2011 Problem 2

$D$, $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde köşelerden farklı bir nokta ve $E$, $[CD]$ nin orta noktası olsun. $E$ den $BC$ doğrusuna çizilen dikme $[AC]$ kenarını $|AF| \cdot |BC| = |AC| \cdot |EC|$ koşulunu sağlayan bir $F$ noktasında kesiyor. $ADC$ üçgeninin çevrel çemberi de, $[AB]$ kenarını $A$ dan farklı bir $G$ noktasında kesiyor. $AGF$ üçgeninin çevrel çemberine $F$ noktasından çizilen teğetin $BGE$ üçgeninin çevrel çemberine de teğet olduğunu kanıtlayınız.