OMM 2025 Problem 5

Determina para cuáles enteros positivos $n \geq 3$ existen $n$ números primos, no necesariamente distintos, $p_1, p_2, \ldots, p_n$ tales que

$$p_1p_2 + 1, p_2p_3 + 1, \ldots, p_{n-1}p_n + 1 \text{ y } p_np_1 + 1$$

son todas potencias perfectas.

Nota. Una potencia perfecta es un número de la forma $a^k$ donde $a$ y $k$ son enteros positivos con $k \geq 2$.